Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (24 + 48) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12
B = 24 + 48 ÷ 6 = 24 + 8 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 7² − 19 est une différence : c'est la différence entre le carré de 7 et 19.
D = 2 + 14 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 2 et du quotient de 14 par 2.
E = (24 + 12) ÷ 6 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 24 et 12 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 37 = 333 ≤ 338 < 342 = 9 × 38 : le quotient est 37, le reste 338 − 333 = 5.
338 = 9 × 37 + 5, avec 5 < 9.
11 × 161 = 1 771 ≤ 1 775 < 1 782 = 11 × 162 : le quotient est 161, le reste 1 775 − 1 771 = 4.
1 775 = 11 × 161 + 4, avec 4 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 333 = 15 × 22 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 333 = 15 × 21 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 333 = 15 × 23 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 22, reste 3.
Comme 3 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 333 par 22 : quotient 15, reste 3.
3. 188 = 25 × 7 + 13
En 7 soirs, elle lit 175 pages ; il lui en reste encore 13.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 13 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 961 | non | oui | non | oui | non |
| 305 | non | non | oui | non | non |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 3 360 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 764 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 961 → 2 + 9 + 6 + 1 = 18 305 → 3 + 0 + 5 = 8 537 → 5 + 3 + 7 = 15
3 360 → 3 + 3 + 6 + 0 = 12 3 764 → 3 + 7 + 6 + 4 = 20
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 9 = 18 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 18 ; □ = 3 : 21 ; □ = 6 : 24 ; □ = 9 : 27
4 solutions : 909, 939, 969, 999.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 387, somme des chiffres 18.
« 147 est un multiple de 6. » Faux. 147 = 6 × 24 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 89 − 3 × 8 = 89 − 24 = 65
B = 6 ÷ 3 × 4 = 2 × 4 = 8
C = 76 − 4 × (11 − 8) = 76 − 4 × 3 = 76 − 12 = 64
D = 3 × [33 − (7 + 5)] = 3 × [33 − 12] = 3 × 21 = 63
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × 6 − (8 + 9) = 5 × 6 − 17 = 30 − 17 = 13
2 + (4 + 4) × 7 = 2 + 8 × 7 = 2 + 56 = 58
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 47 × 50 = 2 × 50 × 47 = 100 × 47 = 4 700
F = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 20 × 11 = 20 × (10 + 1) = 20 × 10 + 20 × 1 = 200 + 20 = 220
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 × 5 = 5³ 8 × 8 = 8²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²)
120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 7 = 2 × 36 − 7 = 72 − 7 = 65
B = (2 × 6)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 3 = 5 × 4² − 3 = 5 × 16 − 3 = 80 − 3 = 77
B = (5x)² − 3 = (5 × 4)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 71 et 118. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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