Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × 4² − 9 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 9.
D = 9 × (10 − 5) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 10 et 5.
E = 7 + 6 × 9 est une somme : c'est la somme de 7 et du produit de 6 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 62 = 496 ≤ 501 < 504 = 8 × 63 : le quotient est 62, le reste 501 − 496 = 5.
501 = 8 × 62 + 5, avec 5 < 8.
18 × 68 = 1 224 ≤ 1 234 < 1 242 = 18 × 69 : le quotient est 68, le reste 1 234 − 1 224 = 10.
1 234 = 18 × 68 + 10, avec 10 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 404 = 10 × 41 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 404 = 10 × 39 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 404 = 10 × 40 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 40, reste 4.
Comme 4 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 404 par 40 : quotient 10, reste 4.
3. 234 = 12 × 19 + 6, avec 6 < 12
a) Elle remplit 19 boîtes pleines.
b) Il reste 6 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 4 490 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 462 | oui | non | non | non | non |
| 9 351 | non | oui | non | oui | non |
| 475 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
627 → 6 + 2 + 7 = 15 4 490 → 4 + 4 + 9 + 0 = 17 7 462 → 7 + 4 + 6 + 2 = 19
9 351 → 9 + 3 + 5 + 1 = 18 475 → 4 + 7 + 5 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 8 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15
Une seule solution : 780.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 133 est un multiple de 7. » Vrai. 133 = 7 × 19 : le reste de la division de 133 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 86 − 4 × 9 = 86 − 36 = 50
B = 16 + 48 ÷ 6 × 2 = 16 + 8 × 2 = 16 + 16 = 32
C = (8 + 4) × 5 − 11 = 12 × 5 − 11 = 60 − 11 = 49
D = 1,8 + 3 × 0,5 = 1,8 + 1,5 = 3,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × 4 − (8 + 3) = 5 × 4 − 11 = 20 − 11 = 9
9 × (8 − 2 − 4) = 9 × (6 − 4) = 9 × 2 = 18
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 101 = 20 × (100 + 1) = 20 × 100 + 20 × 1 = 2 000 + 20 = 2 020
F = 26 × 24 + 26 × 76 = 26 × (24 + 76) = 26 × 100 = 2 600
G = 2 × 96 × 5 = 2 × 5 × 96 = 10 × 96 = 960
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 2 × 2 × 2 = 2³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 81 = 9² : carré
108 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 108 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²) 136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 8 = 3 × 25 − 8 = 75 − 8 = 67
B = (3 × 5)² − 8 = 15² − 8 = 225 − 8 = 217
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 4 = 2 × 2² − 4 = 2 × 4 − 4 = 8 − 4 = 4
B = (2a)² − 4 = (2 × 2)² − 4 = 4² − 4 = 16 − 4 = 12
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 104 :
10² = 100 ≤ 104 et 11² = 121 > 104.
a) Elle mettra 10 dalles sur chaque côté.
104 − 100 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 90 et 134. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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