Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 + 30) ÷ 5 = 50 ÷ 5 = 10
B = 20 + 30 ÷ 5 = 20 + 6 = 26
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 7² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 7 et 18.
D = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
E = (4 + 6) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 6 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 103 = 927 ≤ 931 < 936 = 9 × 104 : le quotient est 103, le reste 931 − 927 = 4.
931 = 9 × 103 + 4, avec 4 < 9.
22 × 30 = 660 ≤ 661 < 682 = 22 × 31 : le quotient est 30, le reste 661 − 660 = 1.
661 = 22 × 30 + 1, avec 1 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 444 = 15 × 28 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 444 = 15 × 29 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 444 = 15 × 30 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 29, reste 9.
Comme 9 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 444 par 29 : quotient 15, reste 9.
3. 54 = 8 × 6 + 6, avec 6 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 6 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 177 | non | oui | non | non | non |
| 9 207 | non | oui | non | oui | non |
| 665 | non | non | oui | non | non |
| 4 288 | oui | non | non | non | non |
| 3 980 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
177 → 1 + 7 + 7 = 15 9 207 → 9 + 2 + 0 + 7 = 18 665 → 6 + 6 + 5 = 17
4 288 → 4 + 2 + 8 + 8 = 22 3 980 → 3 + 9 + 8 + 0 = 20
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 2 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 825.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 92 est un multiple de 7. » Faux. 92 = 7 × 13 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 − 8 + 10 = 15 + 10 = 25
B = 8 + 27 ÷ 3 × 3 = 8 + 9 × 3 = 8 + 27 = 35
C = (9 + 6) × 4 − 5 = 15 × 4 − 5 = 60 − 5 = 55
D = 9,1 + 2 × 1,2 = 9,1 + 2,4 = 11,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 − (3 + 4 − 5) = 9 − (7 − 5) = 9 − 2 = 7
8 × (7 + 6 − 5) = 8 × (13 − 5) = 8 × 8 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 11 = 36 × (10 + 1) = 36 × 10 + 36 × 1 = 360 + 36 = 396
F = 2 × 20 × 50 = 2 × 50 × 20 = 100 × 20 = 2 000
G = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 12 × 12 = 12²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 6 = 3 × 25 − 6 = 75 − 6 = 69
B = (3 × 5)² − 6 = 15² − 6 = 225 − 6 = 219
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 8 : x² + 12 = 8² + 12 = 64 + 12 = 76 et 8x = 8 × 8 = 64.
76 ≠ 64 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Pour x = 6 : x² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 8x = 8 × 6 = 48.
48 = 48 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 6 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 203 et 259. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 225, 256.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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