Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (8 + 14) ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11
B = 8 + 14 ÷ 2 = 8 + 7 = 15
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
D = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
E = 19 + 15 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 19 et du quotient de 15 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 231 = 924 ≤ 926 < 928 = 4 × 232 : le quotient est 231, le reste 926 − 924 = 2.
926 = 4 × 231 + 2, avec 2 < 4.
22 × 100 = 2 200 ≤ 2 218 < 2 222 = 22 × 101 : le quotient est 100, le reste 2 218 − 2 200 = 18.
2 218 = 22 × 100 + 18, avec 18 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 134 = 10 × 14 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 134 = 10 × 12 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 134 = 10 × 13 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 4.
Comme 4 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 134 par 13 : quotient 10, reste 4.
3. 188 = 15 × 12 + 8
En 12 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 8.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 8 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 120 | oui | non | oui | non | oui |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 8 937 | non | oui | non | oui | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 2 576 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 120 → 2 + 1 + 2 + 0 = 5 325 → 3 + 2 + 5 = 10 8 937 → 8 + 9 + 3 + 7 = 27
777 → 7 + 7 + 7 = 21 2 576 → 2 + 5 + 7 + 6 = 20
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 7 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 18
Une seule solution : 477.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 84 est un multiple de 3. » Vrai. 84 = 3 × 28 : le reste de la division de 84 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 69 − 2 × 2 = 69 − 4 = 65
B = 3 + 15 ÷ 3 × 3 = 3 + 5 × 3 = 3 + 15 = 18
C = (12 + 6) × 4 − 13 = 18 × 4 − 13 = 72 − 13 = 59
D = 5 × [21 − (4 + 5)] = 5 × [21 − 9] = 5 × 12 = 60
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 3 × 8) × 6 = (6 + 24) × 6 = 30 × 6 = 180
6 + 8 × (8 − 7) = 6 + 8 × 1 = 6 + 8 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 71 + 3,45 + 29 = 71 + 29 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1 300 − 13 = 1 287
G = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 × 6 = 6³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²) 117 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 117 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 4 = 5 × 16 − 4 = 80 − 4 = 76
B = (5 × 4)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 5 = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4x)² − 5 = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 94 :
9² = 81 ≤ 94 et 10² = 100 > 94.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
94 − 81 = 13
b) Il lui restera 13 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 11 et 47. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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