Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 10 + 25 ÷ 5 = 10 + 5 = 15
B = (10 + 25) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = 2² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 24 = 192 ≤ 198 < 200 = 8 × 25 : le quotient est 24, le reste 198 − 192 = 6.
198 = 8 × 24 + 6, avec 6 < 8.
13 × 187 = 2 431 ≤ 2 442 < 2 444 = 13 × 188 : le quotient est 187, le reste 2 442 − 2 431 = 11.
2 442 = 13 × 187 + 11, avec 11 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 68 = 6 × 10 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 68 = 6 × 11 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 68 = 6 × 12 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 11, reste 2.
Comme 2 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 68 par 11 : quotient 6, reste 2.
3. 174 = 12 × 14 + 6, avec 6 < 12
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 6 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 617 | non | oui | non | oui | non |
| 155 | non | non | oui | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 9 412 | oui | non | non | non | non |
| 1 670 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
4 617 → 4 + 6 + 1 + 7 = 18 155 → 1 + 5 + 5 = 11 897 → 8 + 9 + 7 = 24
9 412 → 9 + 4 + 1 + 2 = 16 1 670 → 1 + 6 + 7 + 0 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 0 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 405.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 184 est un multiple de 8. » Vrai. 184 = 8 × 23 : le reste de la division de 184 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 38 − 7 + 10 = 31 + 10 = 41
B = 21 ÷ 3 × 5 = 7 × 5 = 35
C = 90 − 4 × (14 − 5) = 90 − 4 × 9 = 90 − 36 = 54
D = 4 × [25 − (5 + 8)] = 4 × [25 − 13] = 4 × 12 = 48
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 7) × 2 − 7 = 12 × 2 − 7 = 24 − 7 = 17
(8 + 9 + 7) × 8 = (17 + 7) × 8 = 24 × 8 = 192
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 90 × 25 = 4 × 25 × 90 = 100 × 90 = 9 000
F = 38 × 40 − 38 × 30 = 38 × (40 − 30) = 38 × 10 = 380
G = 26 × 9 = 26 × (10 − 1) = 26 × 10 − 26 × 1 = 260 − 26 = 234
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 9 × 9 = 9²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 91 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 91 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 12 = 2² + 12 = 4 + 12 = 16 et 8n = 8 × 2 = 16.
16 = 16 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 1 : n² + 12 = 1² + 12 = 1 + 12 = 13 et 8n = 8 × 1 = 8.
13 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 2 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 74 et 126. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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