Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 16) ÷ 2 = 26 ÷ 2 = 13
B = 10 + 16 ÷ 2 = 10 + 8 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 + 56 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 56 par 7.
D = (6 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 7.
E = 9 × (15 − 10) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 15 et 10.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 39 = 156 ≤ 159 < 160 = 4 × 40 : le quotient est 39, le reste 159 − 156 = 3.
159 = 4 × 39 + 3, avec 3 < 4.
24 × 77 = 1 848 ≤ 1 859 < 1 872 = 24 × 78 : le quotient est 77, le reste 1 859 − 1 848 = 11.
1 859 = 24 × 77 + 11, avec 11 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 226 = 7 × 32 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 226 = 7 × 33 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 226 = 7 × 31 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 32, reste 2.
Comme 2 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 226 par 32 : quotient 7, reste 2.
3. 32 = 5 × 6 + 2, avec 2 < 5
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 850 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 561 | non | oui | non | oui | non |
| 845 | non | non | oui | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 2 602 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 850 → 3 + 8 + 5 + 0 = 16 6 561 → 6 + 5 + 6 + 1 = 18 845 → 8 + 4 + 5 = 17
777 → 7 + 7 + 7 = 21 2 602 → 2 + 6 + 0 + 2 = 10
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 3 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 234.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 38 est pair mais 38 = 3 × 12 + 2.
« 240 est un multiple de 8. » Vrai. 240 = 8 × 30 : le reste de la division de 240 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 2 + 7 × 2 = 2 + 14 = 16
B = 15 + 48 ÷ 6 × 3 = 15 + 8 × 3 = 15 + 24 = 39
C = 64 − 3 × (18 − 2) = 64 − 3 × 16 = 64 − 48 = 16
D = 3 × [27 − (2 + 6)] = 3 × [27 − 8] = 3 × 19 = 57
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (4 + 2) − 4 = 8 × 6 − 4 = 48 − 4 = 44
(5 − 4 + 6) × 7 = (1 + 6) × 7 = 7 × 7 = 49
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 37 × 99 = 37 × (100 − 1) = 37 × 100 − 37 × 1 = 3 700 − 37 = 3 663
F = 17 × 11 + 17 × 89 = 17 × (11 + 89) = 17 × 100 = 1 700
G = 4 × 74 × 25 = 4 × 25 × 74 = 100 × 74 = 7 400
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 × 3 = 3³ 6 × 6 = 6²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (5 + 2)² = 5² + 2² » Faux. (5 + 2)² = 7² = 49, alors que 5² + 2² = 25 + 4 = 29.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²)
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 7 = 4 × 16 − 7 = 64 − 7 = 57
B = (4 × 4)² − 7 = 16² − 7 = 256 − 7 = 249
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 2 = 4 × 2² − 2 = 4 × 4 − 2 = 16 − 2 = 14
B = (4x)² − 2 = (4 × 2)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 31 :
5² = 25 ≤ 31 et 6² = 36 > 31.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
31 − 25 = 6
b) Il lui restera 6 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 87 et 138. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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