Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 8 + 8 ÷ 2 = 8 + 4 = 12
B = (8 + 8) ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (27 + 9) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 27 et 9 par 4.
D = 48 − 5 × 6 est une différence : c'est la différence entre 48 et le produit de 5 par 6.
E = 11 + 54 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 54 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 22 = 176 ≤ 179 < 184 = 8 × 23 : le quotient est 22, le reste 179 − 176 = 3.
179 = 8 × 22 + 3, avec 3 < 8.
18 × 111 = 1 998 ≤ 2 004 < 2 016 = 18 × 112 : le quotient est 111, le reste 2 004 − 1 998 = 6.
2 004 = 18 × 111 + 6, avec 6 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 350 = 9 × 38 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 350 = 9 × 37 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 350 = 9 × 39 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 38, reste 8.
Comme 8 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 350 par 38 : quotient 9, reste 8.
3. 245 = 12 × 20 + 5, avec 5 < 12
a) Elle remplit 20 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 1 017 | non | oui | non | oui | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 8 042 | oui | non | non | non | non |
| 1 930 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
445 → 4 + 4 + 5 = 13 1 017 → 1 + 0 + 1 + 7 = 9 111 → 1 + 1 + 1 = 3
8 042 → 8 + 0 + 4 + 2 = 14 1 930 → 1 + 9 + 3 + 0 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 8 + □ = 16 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 21
Une seule solution : 885.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 693, somme des chiffres 18.
« 4 est un diviseur de 58. » Faux. 58 = 4 × 14 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 86 − 2 × 4 = 86 − 8 = 78
B = 2 × 7 − 2 × 4 = 14 − 8 = 6
C = 86 − 3 × (20 − 2) = 86 − 3 × 18 = 86 − 54 = 32
D = 4 × [24 − (9 + 2)] = 4 × [24 − 11] = 4 × 13 = 52
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × 5 − (8 + 2) = 7 × 5 − 10 = 35 − 10 = 25
5 + 3 × (9 + 8) = 5 + 3 × 17 = 5 + 51 = 56
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 30 × 99 = 30 × (100 − 1) = 30 × 100 − 30 × 1 = 3 000 − 30 = 2 970
F = 2,7 × 0,8 + 2,7 × 0,2 = 2,7 × (0,8 + 0,2) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 4 × 31 × 25 = 4 × 25 × 31 = 100 × 31 = 3 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³ 12 × 12 = 12²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 92 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 92 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 2 = 5 × 16 − 2 = 80 − 2 = 78
B = (5 × 4)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 10 = 4² + 10 = 16 + 10 = 26 et 7x = 7 × 4 = 28.
26 ≠ 28 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Pour x = 5 : x² + 10 = 5² + 10 = 25 + 10 = 35 et 7x = 7 × 5 = 35.
35 = 35 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 5 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 49. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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