Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 11 + 9 × 3 = 11 + 27 = 38
B = (11 + 9) × 3 = 20 × 3 = 60
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 4 × 5² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 5 et 20.
E = 19 + 40 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 19 et du quotient de 40 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 154 = 616 ≤ 618 < 620 = 4 × 155 : le quotient est 154, le reste 618 − 616 = 2.
618 = 4 × 154 + 2, avec 2 < 4.
24 × 84 = 2 016 ≤ 2 026 < 2 040 = 24 × 85 : le quotient est 84, le reste 2 026 − 2 016 = 10.
2 026 = 24 × 84 + 10, avec 10 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 123 = 8 × 15 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 123 = 8 × 16 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 123 = 8 × 14 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 15, reste 3.
Comme 3 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 123 par 15 : quotient 8, reste 3.
3. 267 = 18 × 14 + 15
En 14 soirs, elle lit 252 pages ; il lui en reste encore 15.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 15 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 761 | non | oui | non | oui | non |
| 7 010 | oui | non | oui | non | oui |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 1 988 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 761 → 4 + 7 + 6 + 1 = 18 7 010 → 7 + 0 + 1 + 0 = 8 785 → 7 + 8 + 5 = 20
681 → 6 + 8 + 1 = 15 1 988 → 1 + 9 + 8 + 8 = 26
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 7 = 15 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 18
Une seule solution : 837.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 4 est un diviseur de 120. » Vrai. 120 = 4 × 30 : le reste de la division de 120 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 − 10 + 8 = 19 + 8 = 27
B = 8 + 48 ÷ 6 × 3 = 8 + 8 × 3 = 8 + 24 = 32
C = 89 − 3 × (19 − 4) = 89 − 3 × 15 = 89 − 45 = 44
D = [6 + 9 × (9 − 3)] ÷ 2 = [6 + 9 × 6] ÷ 2 = [6 + 54] ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 9) × 3 + 6 = 13 × 3 + 6 = 39 + 6 = 45
5 × (3 + 3) − 9 = 5 × 6 − 9 = 30 − 9 = 21
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 101 = 22 × (100 + 1) = 22 × 100 + 22 × 1 = 2 200 + 22 = 2 222
F = 1,5 × 0,4 + 1,5 × 0,6 = 1,5 × (0,4 + 0,6) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 2 × 46 × 50 = 2 × 50 × 46 = 100 × 46 = 4 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 = 5² 5 × 5 × 5 = 5³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
81 = 9² : carré 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
106 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 106 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 7 = 3 × 9 − 7 = 27 − 7 = 20
B = (3 × 3)² − 7 = 9² − 7 = 81 − 7 = 74
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : n² − 3n + 2 = 6² − 3 × 6 + 2 = 36 − 3 × 6 + 2 = 36 − 18 + 2 = 18 + 2 = 20
Pour n = 10 : n² − 3n + 2 = 10² − 3 × 10 + 2 = 100 − 3 × 10 + 2 = 100 − 30 + 2 = 70 + 2 = 72
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 47 et 100. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49, 81.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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