Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = 3 × 7² − 13 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 7 et 13.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 94 = 846 ≤ 853 < 855 = 9 × 95 : le quotient est 94, le reste 853 − 846 = 7.
853 = 9 × 94 + 7, avec 7 < 9.
21 × 99 = 2 079 ≤ 2 089 < 2 100 = 21 × 100 : le quotient est 99, le reste 2 089 − 2 079 = 10.
2 089 = 21 × 99 + 10, avec 10 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 106 = 11 × 10 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 106 = 11 × 8 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 106 = 11 × 9 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 9, reste 7.
Comme 7 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 106 par 9 : quotient 11, reste 7.
3. 76 = 7 × 10 + 6
a) 76 jours font 10 semaines complètes et 6 jours.
Après 10 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 6 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 76 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 389 | non | oui | non | oui | non |
| 4 530 | oui | oui | oui | non | oui |
| 4 574 | oui | non | non | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 389 → 7 + 3 + 8 + 9 = 27 4 530 → 4 + 5 + 3 + 0 = 12 4 574 → 4 + 5 + 7 + 4 = 20
147 → 1 + 4 + 7 = 12 445 → 4 + 4 + 5 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 5 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 450.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 630, somme des chiffres 9.
« 101 est un multiple de 8. » Faux. 101 = 8 × 12 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 − 15 + 7 = 7 + 7 = 14
B = 24 ÷ 4 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (9 × 4 − 1) ÷ 4 = (36 − 1) ÷ 4 = 35 ÷ 4 = 8,75
D = 9,9 + 3 × 1,5 = 9,9 + 4,5 = 14,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 2 × 3) × 4 = (4 + 6) × 4 = 10 × 4 = 40
2 × (5 + 5) × 6 = 2 × 10 × 6 = 20 × 6 = 120
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 75 + 12,6 + 25 = 75 + 25 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 48 × 9 = 48 × (10 − 1) = 48 × 10 − 48 × 1 = 480 − 48 = 432
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 5 × 5 × 5 = 5³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²) 27 = 3³ : cube
49 = 7² : carré 61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²)
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 2 = 4 × 9 − 2 = 36 − 2 = 34
B = (4 × 3)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : 2x³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 7 petits cubes sur 7 : 7² = 7 × 7 = 49.
a) On voit 49 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 7 couches de 49 petits cubes : 7³ = 7 × 7 × 7 = 343.
b) Il a utilisé 343 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 7 − 2 = 5 petits cubes d'arête. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
c) 125 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 41 et 69. » → encore 27 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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