Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13
B = (5 + 2) × 4 = 7 × 4 = 28
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (23 + 25) ÷ 6 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 23 et 25 par 6.
D = (6 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 1.
E = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 55 = 330 ≤ 335 < 336 = 6 × 56 : le quotient est 55, le reste 335 − 330 = 5.
335 = 6 × 55 + 5, avec 5 < 6.
26 × 57 = 1 482 ≤ 1 505 < 1 508 = 26 × 58 : le quotient est 57, le reste 1 505 − 1 482 = 23.
1 505 = 26 × 57 + 23, avec 23 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 114 = 7 × 16 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 114 = 7 × 17 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 114 = 7 × 15 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 16, reste 2.
Comme 2 < 16 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 114 par 16 : quotient 7, reste 2.
3. 164 = 6 × 27 + 2, avec 2 < 6
a) Elle remplit 27 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 2 620 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 776 | oui | non | non | non | non |
| 9 441 | non | oui | non | oui | non |
| 895 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
417 → 4 + 1 + 7 = 12 2 620 → 2 + 6 + 2 + 0 = 10 5 776 → 5 + 7 + 7 + 6 = 25
9 441 → 9 + 4 + 4 + 1 = 18 895 → 8 + 9 + 5 = 22
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 4 + □ = 5 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 144.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 69 est divisible par 3 (69 = 3 × 23) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 3 est un diviseur de 75. » Vrai. 75 = 3 × 25 : le reste de la division de 75 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 16 + 5 × 4 = 16 + 20 = 36
B = 27 ÷ 3 × 5 = 9 × 5 = 45
C = (12 + 3) × 2 − 4 = 15 × 2 − 4 = 30 − 4 = 26
D = 2 × [33 − (9 + 2)] = 2 × [33 − 11] = 2 × 22 = 44
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (2 × 2 + 9) = 2 × (4 + 9) = 2 × 13 = 26
4 × (4 + 8 + 8) = 4 × (12 + 8) = 4 × 20 = 80
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 33 + 0,75 + 67 = 33 + 67 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 19 × 101 = 19 × (100 + 1) = 19 × 100 + 19 × 1 = 1 900 + 19 = 1 919
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³ 8 × 8 = 8²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
101 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 101 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
146 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 146 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 7 = 3 × 25 − 7 = 75 − 7 = 68
B = (3 × 5)² − 7 = 15² − 7 = 225 − 7 = 218
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 7 : x² + 30 = 7² + 30 = 49 + 30 = 79 et 11x = 11 × 7 = 77.
79 ≠ 77 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Pour x = 6 : x² + 30 = 6² + 30 = 36 + 30 = 66 et 11x = 11 × 6 = 66.
66 = 66 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 6 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 52. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 4, 16, 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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