Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
B = (5 + 7)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (20 + 52) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 20 et 52 par 9.
D = 3 × 4² − 17 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 17.
E = 2 × 3² est un produit : c'est le double du carré de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 111 = 888 ≤ 895 < 896 = 8 × 112 : le quotient est 111, le reste 895 − 888 = 7.
895 = 8 × 111 + 7, avec 7 < 8.
13 × 73 = 949 ≤ 952 < 962 = 13 × 74 : le quotient est 73, le reste 952 − 949 = 3.
952 = 13 × 73 + 3, avec 3 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 155 = 15 × 11 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 155 = 15 × 9 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 155 = 15 × 10 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 5.
Comme 5 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 155 par 10 : quotient 15, reste 5.
3. 309 = 25 × 12 + 9
En 12 soirs, elle lit 300 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 677 | non | oui | non | oui | non |
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 1 736 | oui | non | non | non | non |
| 2 450 | oui | non | oui | non | oui |
| 145 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 677 → 7 + 6 + 7 + 7 = 27 267 → 2 + 6 + 7 = 15 1 736 → 1 + 7 + 3 + 6 = 17
2 450 → 2 + 4 + 5 + 0 = 11 145 → 1 + 4 + 5 = 10
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 4 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 144.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 648, somme des chiffres 18.
« 53 est un multiple de 3. » Faux. 53 = 3 × 17 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 2 × 7 = 24 + 14 = 38
B = 7 × 4 − 5 × 5 = 28 − 25 = 3
C = 89 − 4 × (16 − 5) = 89 − 4 × 11 = 89 − 44 = 45
D = 7,5 + 6 × 2,5 = 7,5 + 15 = 22,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 7 − (7 + 6) = 9 × 7 − 13 = 63 − 13 = 50
(6 + 6 × 8) × 3 = (6 + 48) × 3 = 54 × 3 = 162
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 88 × 5 = 2 × 5 × 88 = 10 × 88 = 880
F = 39 × 85 − 39 × 75 = 39 × (85 − 75) = 39 × 10 = 390
G = 47 × 11 = 47 × (10 + 1) = 47 × 10 + 47 × 1 = 470 + 47 = 517
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 7 × 7 = 7² 6 × 6 × 6 = 6³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 3 = 4 × 36 − 3 = 144 − 3 = 141
B = (4 × 6)² − 3 = 24² − 3 = 576 − 3 = 573
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 3 : n² + 12 = 3² + 12 = 9 + 12 = 21 et 7n = 7 × 3 = 21.
21 = 21 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Pour n = 5 : n² + 12 = 5² + 12 = 25 + 12 = 37 et 7n = 7 × 5 = 35.
37 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 3 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
5 × 2 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 28. » → encore 26 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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