Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 6)² = 10² = 100
B = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
D = 6 + 24 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 6 et du quotient de 24 par 8.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 202 = 808 ≤ 810 < 812 = 4 × 203 : le quotient est 202, le reste 810 − 808 = 2.
810 = 4 × 202 + 2, avec 2 < 4.
12 × 174 = 2 088 ≤ 2 089 < 2 100 = 12 × 175 : le quotient est 174, le reste 2 089 − 2 088 = 1.
2 089 = 12 × 174 + 1, avec 1 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 433 = 12 × 36 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 433 = 12 × 37 − 11 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 433 = 12 × 35 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 36, reste 1.
Comme 1 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 433 par 36 : quotient 12, reste 1.
3. 39 = 12 × 3 + 3
3 minibus pleins transportent 36 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 3 = 9 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 6 220 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 026 | oui | non | non | non | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 8 937 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
215 → 2 + 1 + 5 = 8 6 220 → 6 + 2 + 2 + 0 = 10 5 026 → 5 + 0 + 2 + 6 = 13
327 → 3 + 2 + 7 = 12 8 937 → 8 + 9 + 3 + 7 = 27
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 8 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 180.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 87 est divisible par 3 (87 = 3 × 29) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 3 est un diviseur de 66. » Vrai. 66 = 3 × 22 : le reste de la division de 66 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 + 5 × 4 = 30 + 20 = 50
B = 15 + 27 ÷ 3 × 4 = 15 + 9 × 4 = 15 + 36 = 51
C = 53 − 4 × (10 − 6) = 53 − 4 × 4 = 53 − 16 = 37
D = [6 + 2 × (9 − 2)] ÷ 2 = [6 + 2 × 7] ÷ 2 = [6 + 14] ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (4 + 2 × 8) = 6 × (4 + 16) = 6 × 20 = 120
(2 + 9) × 4 − 3 = 11 × 4 − 3 = 44 − 3 = 41
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 72 + 3,45 + 28 = 72 + 28 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 37 × 99 = 37 × (100 − 1) = 37 × 100 − 37 × 1 = 3 700 − 37 = 3 663
G = 2,7 × 0,4 + 2,7 × 0,6 = 2,7 × (0,4 + 0,6) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 7 × 7 = 7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
89 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 89 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 6 = 2 × 36 − 6 = 72 − 6 = 66
B = (2 × 6)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 4 = 2 × 4² − 4 = 2 × 16 − 4 = 32 − 4 = 28
B = (2a)² − 4 = (2 × 4)² − 4 = 8² − 4 = 64 − 4 = 60
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 65. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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