Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (13 + 7) × 8 = 20 × 8 = 160
B = 13 + 7 × 8 = 13 + 56 = 69
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 20 − 2 × 6 est une différence : c'est la différence entre 20 et le produit de 2 par 6.
D = (5 + 5) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 5 par 2.
E = 6 + 3 × 5 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 53 = 371 ≤ 373 < 378 = 7 × 54 : le quotient est 53, le reste 373 − 371 = 2.
373 = 7 × 53 + 2, avec 2 < 7.
16 × 142 = 2 272 ≤ 2 275 < 2 288 = 16 × 143 : le quotient est 142, le reste 2 275 − 2 272 = 3.
2 275 = 16 × 142 + 3, avec 3 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 76 = 6 × 12 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 76 = 6 × 11 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 76 = 6 × 13 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 12, reste 4.
Comme 4 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 76 par 12 : quotient 6, reste 4.
3. 157 = 12 × 13 + 1
En 13 soirs, elle lit 156 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 590 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 806 | oui | non | non | non | non |
| 845 | non | non | oui | non | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 9 027 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
9 590 → 9 + 5 + 9 + 0 = 23 3 806 → 3 + 8 + 0 + 6 = 17 845 → 8 + 4 + 5 = 17
951 → 9 + 5 + 1 = 15 9 027 → 9 + 0 + 2 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 5 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 405, 435, 465, 495.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 567, somme des chiffres 18.
« 99 est un multiple de 4. » Faux. 99 = 4 × 24 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 3 × 4 = 55 − 12 = 43
B = 6 + 6 ÷ 2 × 4 = 6 + 3 × 4 = 6 + 12 = 18
C = (6 × 9 − 3) ÷ 4 = (54 − 3) ÷ 4 = 51 ÷ 4 = 12,75
D = 9,5 + 3 × 0,5 = 9,5 + 1,5 = 11
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 4 × (8 − 2) = 9 + 4 × 6 = 9 + 24 = 33
9 − (3 + 5 − 6) = 9 − (8 − 6) = 9 − 2 = 7
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 99 = 44 × (100 − 1) = 44 × 100 − 44 × 1 = 4 400 − 44 = 4 356
F = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 28 + 5,05 + 72 = 28 + 72 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 11 × 11 = 11² 2 × 2 × 2 = 2³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 11 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 11 < 16 = 4²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 1 = 3 × 9 − 1 = 27 − 1 = 26
B = (3 × 3)² − 1 = 9² − 1 = 81 − 1 = 80
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 3 = 6² + 3 = 36 + 3 = 39 et 4x = 4 × 6 = 24.
39 ≠ 24 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Pour x = 3 : x² + 3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 4x = 4 × 3 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 3 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 150 et 199. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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