Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (29 − 5) × 5 = 24 × 5 = 120
B = 29 − 5 × 5 = 29 − 25 = 4
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12 + 40 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 12 et du quotient de 40 par 5.
D = 9 × (11 − 4) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 11 et 4.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 91 = 819 ≤ 824 < 828 = 9 × 92 : le quotient est 91, le reste 824 − 819 = 5.
824 = 9 × 91 + 5, avec 5 < 9.
12 × 203 = 2 436 ≤ 2 439 < 2 448 = 12 × 204 : le quotient est 203, le reste 2 439 − 2 436 = 3.
2 439 = 12 × 203 + 3, avec 3 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 224 = 9 × 24 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 224 = 9 × 25 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 224 = 9 × 23 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 24, reste 8.
Comme 8 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 224 par 24 : quotient 9, reste 8.
3. 120 = 7 × 17 + 1
a) 120 jours font 17 semaines complètes et 1 jour.
Après 17 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 1 jour : lundi → mardi.
b) Dans 120 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 9 189 | non | oui | non | oui | non |
| 5 024 | oui | non | non | non | non |
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 4 990 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
537 → 5 + 3 + 7 = 15 9 189 → 9 + 1 + 8 + 9 = 27 5 024 → 5 + 0 + 2 + 4 = 11
355 → 3 + 5 + 5 = 13 4 990 → 4 + 9 + 9 + 0 = 22
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 5 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 450, 456.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 16 est pair mais 16 = 3 × 5 + 1.
« 7 est un diviseur de 196. » Vrai. 196 = 7 × 28 : le reste de la division de 196 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 13 + 11 = 22 + 11 = 33
B = 4 + 25 ÷ 5 × 3 = 4 + 5 × 3 = 4 + 15 = 19
C = (5 × 8 − 4) ÷ 2 = (40 − 4) ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18
D = 4,3 + 5 × 0,5 = 4,3 + 2,5 = 6,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 6 × (8 + 7) = 2 + 6 × 15 = 2 + 90 = 92
6 × (5 + 2) + 9 = 6 × 7 + 9 = 42 + 9 = 51
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 2 × 31 × 50 = 2 × 50 × 31 = 100 × 31 = 3 100
G = 14 × 11 = 14 × (10 + 1) = 14 × 10 + 14 × 1 = 140 + 14 = 154
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 × 4 = 4³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²)
73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : n² + 7n = 4² + 7 × 4 = 16 + 7 × 4 = 16 + 28 = 44
Pour n = 0,5 : n² + 7n = 0,5² + 7 × 0,5 = 0,25 + 7 × 0,5 = 0,25 + 3,5 = 3,75
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 45. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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