Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 9) × 5 = 11 × 5 = 55
B = 2 + 9 × 5 = 2 + 45 = 47
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 19 + 9 ÷ 3 est une somme : c'est la somme de 19 et du quotient de 9 par 3.
D = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
E = 9² − 74 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 74.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 92 = 552 ≤ 554 < 558 = 6 × 93 : le quotient est 92, le reste 554 − 552 = 2.
554 = 6 × 92 + 2, avec 2 < 6.
17 × 136 = 2 312 ≤ 2 318 < 2 329 = 17 × 137 : le quotient est 136, le reste 2 318 − 2 312 = 6.
2 318 = 17 × 136 + 6, avec 6 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 190 = 7 × 27 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 190 = 7 × 28 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 190 = 7 × 26 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 1.
Comme 1 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 190 par 27 : quotient 7, reste 1.
3. 121 = 7 × 17 + 2
a) 121 jours font 17 semaines complètes et 2 jours.
Après 17 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 2 jours : vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 121 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 620 | oui | non | oui | non | oui |
| 741 | non | oui | non | non | non |
| 145 | non | non | oui | non | non |
| 3 092 | oui | non | non | non | non |
| 2 943 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
5 620 → 5 + 6 + 2 + 0 = 13 741 → 7 + 4 + 1 = 12 145 → 1 + 4 + 5 = 10
3 092 → 3 + 0 + 9 + 2 = 14 2 943 → 2 + 9 + 4 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 4 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 504, 594.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 148. » Faux. 148 = 8 × 18 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 8 + 5 × 3 = 8 + 15 = 23
B = 5 + 10 ÷ 2 × 2 = 5 + 5 × 2 = 5 + 10 = 15
C = 54 − 4 × (14 − 3) = 54 − 4 × 11 = 54 − 44 = 10
D = 4 × [27 − (6 + 4)] = 4 × [27 − 10] = 4 × 17 = 68
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 5 − (5 + 4) = 6 + 5 − 9 = 11 − 9 = 2
9 × (5 − 2) × 3 = 9 × 3 × 3 = 27 × 3 = 81
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 38 × 99 = 38 × (100 − 1) = 38 × 100 − 38 × 1 = 3 800 − 38 = 3 762
G = 26 + 0,75 + 74 = 26 + 74 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 × 6 = 6³ 9 × 9 = 9²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
95 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 95 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
125 = 5³ : cube 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 3 = 4 × 9 − 3 = 36 − 3 = 33
B = (4 × 3)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
D = (7 + 4)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : 2n³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 3 et 54. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 9, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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