Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (16 − 6) × 2 = 10 × 2 = 20
B = 16 − 6 × 2 = 16 − 12 = 4
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (8 + 12) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 8 et 12 par 4.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 68 = 272 ≤ 274 < 276 = 4 × 69 : le quotient est 68, le reste 274 − 272 = 2.
274 = 4 × 68 + 2, avec 2 < 4.
20 × 107 = 2 140 ≤ 2 142 < 2 160 = 20 × 108 : le quotient est 107, le reste 2 142 − 2 140 = 2.
2 142 = 20 × 107 + 2, avec 2 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 258 = 12 × 21 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 258 = 12 × 20 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 258 = 12 × 22 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 21, reste 6.
Comme 6 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 258 par 21 : quotient 12, reste 6.
3. 173 = 12 × 14 + 5, avec 5 < 12
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 431 | non | oui | non | oui | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 3 022 | oui | non | non | non | non |
| 8 460 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 805 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 431 → 1 + 4 + 3 + 1 = 9 867 → 8 + 6 + 7 = 21 3 022 → 3 + 0 + 2 + 2 = 7
8 460 → 8 + 4 + 6 + 0 = 18 805 → 8 + 0 + 5 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 4 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 6 : 18
2 solutions : 840, 846.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 60 est divisible par 3 (60 = 3 × 20) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 66 est un multiple de 4. » Faux. 66 = 4 × 16 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 17 + 7 × 2 = 17 + 14 = 31
B = 15 ÷ 3 × 5 = 5 × 5 = 25
C = 68 − 3 × (20 − 8) = 68 − 3 × 12 = 68 − 36 = 32
D = 8,4 + 4 × 2,5 = 8,4 + 10 = 18,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (6 − 3) × 6 = 4 × 3 × 6 = 12 × 6 = 72
4 × (7 + 6 × 7) = 4 × (7 + 42) = 4 × 49 = 196
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 83 − 44 × 73 = 44 × (83 − 73) = 44 × 10 = 440
F = 4 × 71 × 25 = 4 × 25 × 71 = 100 × 71 = 7 100
G = 29 × 9 = 29 × (10 − 1) = 29 × 10 − 29 × 1 = 290 − 29 = 261
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 8 × 8 = 8²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²)
25 = 5² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
121 = 11² : carré 140 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 140 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 4 : 6x² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96
Pour x = 0,5 : 6x² = 6 × 0,5² = 6 × 0,25 = 1,5
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 132 et 188. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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