Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 19 − 2 × 5 = 19 − 10 = 9
B = (19 − 2) × 5 = 17 × 5 = 85
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² − 1 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 1.
D = 10 + 6 × 7 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 6 par 7.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 49 = 441 ≤ 443 < 450 = 9 × 50 : le quotient est 49, le reste 443 − 441 = 2.
443 = 9 × 49 + 2, avec 2 < 9.
13 × 55 = 715 ≤ 726 < 728 = 13 × 56 : le quotient est 55, le reste 726 − 715 = 11.
726 = 13 × 55 + 11, avec 11 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 184 = 7 × 27 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 184 = 7 × 26 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 184 = 7 × 25 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 26, reste 2.
Comme 2 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 184 par 26 : quotient 7, reste 2.
3. 32 = 6 × 5 + 2, avec 2 < 6
a) Chaque joueur reçoit 5 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 967 | non | oui | non | oui | non |
| 925 | non | non | oui | non | non |
| 2 774 | oui | non | non | non | non |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 7 960 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 967 → 5 + 9 + 6 + 7 = 27 925 → 9 + 2 + 5 = 16 2 774 → 2 + 7 + 7 + 4 = 20
537 → 5 + 3 + 7 = 15 7 960 → 7 + 9 + 6 + 0 = 22
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 7 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 417, 447, 477.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 20 est pair mais 20 = 3 × 6 + 2.
« 5 est un diviseur de 125. » Vrai. 125 = 5 × 25 : le reste de la division de 125 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 37 − 6 + 8 = 31 + 8 = 39
B = 4 × 4 − 4 × 3 = 16 − 12 = 4
C = (4 + 11) × 2 − 7 = 15 × 2 − 7 = 30 − 7 = 23
D = 4 × [39 − (5 + 7)] = 4 × [39 − 12] = 4 × 27 = 108
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × 3 × (9 − 5) = 5 × 3 × 4 = 15 × 4 = 60
9 × (9 − 6) × 5 = 9 × 3 × 5 = 27 × 5 = 135
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,7 + 4,5 × 0,3 = 4,5 × (0,7 + 0,3) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 4 × 80 × 25 = 4 × 25 × 80 = 100 × 80 = 8 000
G = 28 × 11 = 28 × (10 + 1) = 28 × 10 + 28 × 1 = 280 + 28 = 308
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 = 4² 3 × 3 × 3 = 3³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 3 = 2 × 9 − 3 = 18 − 3 = 15
B = (2 × 3)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 12 = 4² + 12 = 16 + 12 = 28 et 7x = 7 × 4 = 28.
28 = 28 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Pour x = 8 : x² + 12 = 8² + 12 = 64 + 12 = 76 et 7x = 7 × 8 = 56.
76 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 4 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 98 :
9² = 81 ≤ 98 et 10² = 100 > 98.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
98 − 81 = 17
b) Il lui restera 17 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 41 et 73. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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