Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 6) × 5 = 9 × 5 = 45
B = 3 + 6 × 5 = 3 + 30 = 33
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
D = 12 + 6 × 9 est une somme : c'est la somme de 12 et du produit de 6 par 9.
E = (6 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 58 = 406 ≤ 410 < 413 = 7 × 59 : le quotient est 58, le reste 410 − 406 = 4.
410 = 7 × 58 + 4, avec 4 < 7.
13 × 131 = 1 703 ≤ 1 715 < 1 716 = 13 × 132 : le quotient est 131, le reste 1 715 − 1 703 = 12.
1 715 = 13 × 131 + 12, avec 12 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 310 = 11 × 27 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 310 = 11 × 28 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 310 = 11 × 29 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 28, reste 2.
Comme 2 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 310 par 28 : quotient 11, reste 2.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 609 | non | oui | non | oui | non |
| 9 034 | oui | non | non | non | non |
| 9 510 | oui | oui | oui | non | oui |
| 595 | non | non | oui | non | non |
| 177 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 609 → 3 + 6 + 0 + 9 = 18 9 034 → 9 + 0 + 3 + 4 = 16 9 510 → 9 + 5 + 1 + 0 = 15
595 → 5 + 9 + 5 = 19 177 → 1 + 7 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 8 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 15 ; □ = 4 : 18 ; □ = 7 : 21
3 solutions : 618, 648, 678.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 176 est un multiple de 8. » Vrai. 176 = 8 × 22 : le reste de la division de 176 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 81 − 2 × 7 = 81 − 14 = 67
B = 12 ÷ 2 × 5 = 6 × 5 = 30
C = (10 + 9) × 6 − 17 = 19 × 6 − 17 = 114 − 17 = 97
D = [2 + 8 × (6 − 5)] ÷ 2 = [2 + 8 × 1] ÷ 2 = [2 + 8] ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 9 − (8 + 5) = 2 × 9 − 13 = 18 − 13 = 5
6 × (8 × 2 + 9) = 6 × (16 + 9) = 6 × 25 = 150
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 101 = 26 × (100 + 1) = 26 × 100 + 26 × 1 = 2 600 + 26 = 2 626
F = 5 × 86 × 20 = 5 × 20 × 86 = 100 × 86 = 8 600
G = 33 × 54 + 33 × 46 = 33 × (54 + 46) = 33 × 100 = 3 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 3 × 3 × 3 = 3³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
25 = 5² : carré 59 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 59 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 130 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 130 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 2 = 4 × 25 − 2 = 100 − 2 = 98
B = (4 × 5)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 20 = 3² + 20 = 9 + 20 = 29 et 9x = 9 × 3 = 27.
29 ≠ 27 : l'égalité est fausse pour x = 3.
Pour x = 5 : x² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9x = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 58. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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