Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 30 + 24 ÷ 6 = 30 + 4 = 34
B = (30 + 24) ÷ 6 = 54 ÷ 6 = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
D = 5 × (15 − 8) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 15 et 8.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 36 = 252 ≤ 253 < 259 = 7 × 37 : le quotient est 36, le reste 253 − 252 = 1.
253 = 7 × 36 + 1, avec 1 < 7.
14 × 120 = 1 680 ≤ 1 685 < 1 694 = 14 × 121 : le quotient est 120, le reste 1 685 − 1 680 = 5.
1 685 = 14 × 120 + 5, avec 5 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 242 = 6 × 39 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 242 = 6 × 40 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 242 = 6 × 41 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 2.
Comme 2 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 242 par 40 : quotient 6, reste 2.
3. 373 = 7 × 53 + 2
a) 373 jours font 53 semaines complètes et 2 jours.
Après 53 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 2 jours : dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 373 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 7 047 | non | oui | non | oui | non |
| 2 204 | oui | non | non | non | non |
| 3 870 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
185 → 1 + 8 + 5 = 14 501 → 5 + 0 + 1 = 6 7 047 → 7 + 0 + 4 + 7 = 18
2 204 → 2 + 2 + 0 + 4 = 8 3 870 → 3 + 8 + 7 + 0 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 2 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 525.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 62 est pair mais 62 = 3 × 20 + 2.
« 70 est un multiple de 5. » Vrai. 70 = 5 × 14 : le reste de la division de 70 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 61 − 6 × 5 = 61 − 30 = 31
B = 12 ÷ 3 × 3 = 4 × 3 = 12
C = 82 − 3 × (13 − 5) = 82 − 3 × 8 = 82 − 24 = 58
D = 2,3 + 2 × 0,5 = 2,3 + 1 = 3,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (3 + 9 − 6) = 9 × (12 − 6) = 9 × 6 = 54
5 − (3 + 2) + 3 = 5 − 5 + 3 = 0 + 3 = 3
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 × 16 + 19 × 84 = 19 × (16 + 84) = 19 × 100 = 1 900
F = 47 + 5,05 + 53 = 47 + 53 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 31 × 101 = 31 × (100 + 1) = 31 × 100 + 31 × 1 = 3 100 + 31 = 3 131
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 3 = 3 × 25 − 3 = 75 − 3 = 72
B = (3 × 5)² − 3 = 15² − 3 = 225 − 3 = 222
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : 2n³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
5 × 5 = 25
a) Il faut 25 carreaux le long d'un côté.
25 rangées de 25 carreaux : 25² = 25 × 25 = 625
b) Il faut 625 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 134 et 203. » → encore 68 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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