Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 + 6 × 4 est une somme : c'est la somme de 5 et du produit de 6 par 4.
D = (8 + 6) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 6 par 8.
E = 31 − 4 × 6 est une différence : c'est la différence entre 31 et le produit de 4 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 37 = 148 ≤ 150 < 152 = 4 × 38 : le quotient est 37, le reste 150 − 148 = 2.
150 = 4 × 37 + 2, avec 2 < 4.
29 × 78 = 2 262 ≤ 2 288 < 2 291 = 29 × 79 : le quotient est 78, le reste 2 288 − 2 262 = 26.
2 288 = 29 × 78 + 26, avec 26 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 251 = 11 × 21 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 251 = 11 × 22 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 251 = 11 × 23 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 22, reste 9.
Comme 9 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 251 par 22 : quotient 11, reste 9.
3. 47 = 6 × 7 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 7 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 090 | oui | oui | oui | non | oui |
| 5 517 | non | oui | non | oui | non |
| 8 906 | oui | non | non | non | non |
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 921 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 090 → 6 + 0 + 9 + 0 = 15 5 517 → 5 + 5 + 1 + 7 = 18 8 906 → 8 + 9 + 0 + 6 = 23
365 → 3 + 6 + 5 = 14 921 → 9 + 2 + 1 = 12
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 7 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 747.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 162, somme des chiffres 9.
« 142 est un multiple de 7. » Faux. 142 = 7 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 4 × 8 = 27 + 32 = 59
B = 17 + 63 ÷ 9 × 3 = 17 + 7 × 3 = 17 + 21 = 38
C = 82 − 3 × (13 − 9) = 82 − 3 × 4 = 82 − 12 = 70
D = 5 × [40 − (6 + 5)] = 5 × [40 − 11] = 5 × 29 = 145
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 − (4 + 2 − 3) = 9 − (6 − 3) = 9 − 3 = 6
(8 + 6 + 4) × 9 = (14 + 4) × 9 = 18 × 9 = 162
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 47 + 3,45 + 53 = 47 + 53 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 33 × 101 = 33 × (100 + 1) = 33 × 100 + 33 × 1 = 3 300 + 33 = 3 333
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 11 × 11 = 11² 0,7 × 0,7 = 0,7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
11 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 11 < 16 = 4²) 23 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 23 < 25 = 5²)
25 = 5² : carré 49 = 7² : carré
103 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 103 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 7 = 3 × 36 − 7 = 108 − 7 = 101
B = (3 × 6)² − 7 = 18² − 7 = 324 − 7 = 317
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 7n = 7 × 1 = 7.
7 = 7 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 4 : n² + 6 = 4² + 6 = 16 + 6 = 22 et 7n = 7 × 4 = 28.
22 ≠ 28 : l'égalité est fausse pour n = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 1 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 228. » → encore 69 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196, 225.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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