Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 8 + 12 ÷ 2 = 8 + 6 = 14
B = (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 1.
D = (42 + 30) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 42 et 30 par 8.
E = 3 + 2 × 4 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 2 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 169 = 676 ≤ 679 < 680 = 4 × 170 : le quotient est 169, le reste 679 − 676 = 3.
679 = 4 × 169 + 3, avec 3 < 4.
25 × 65 = 1 625 ≤ 1 633 < 1 650 = 25 × 66 : le quotient est 65, le reste 1 633 − 1 625 = 8.
1 633 = 25 × 65 + 8, avec 8 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 184 = 7 × 25 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 184 = 7 × 26 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 184 = 7 × 27 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 26, reste 2.
Comme 2 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 184 par 26 : quotient 7, reste 2.
3. 94 = 7 × 13 + 3
a) 94 jours font 13 semaines complètes et 3 jours.
Après 13 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 3 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi.
b) Dans 94 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 231 | non | oui | non | non | non |
| 6 070 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 392 | oui | non | non | non | non |
| 4 491 | non | oui | non | oui | non |
| 845 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
231 → 2 + 3 + 1 = 6 6 070 → 6 + 0 + 7 + 0 = 13 5 392 → 5 + 3 + 9 + 2 = 19
4 491 → 4 + 4 + 9 + 1 = 18 845 → 8 + 4 + 5 = 17
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 8 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 15 ; □ = 4 : 18 ; □ = 7 : 21
3 solutions : 618, 648, 678.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 22 est pair mais 22 = 3 × 7 + 1.
« 52 est un multiple de 4. » Vrai. 52 = 4 × 13 : le reste de la division de 52 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 3 × 2 = 18 + 6 = 24
B = 15 ÷ 3 × 2 = 5 × 2 = 10
C = (9 × 6 − 3) ÷ 5 = (54 − 3) ÷ 5 = 51 ÷ 5 = 10,2
D = 2 × [34 − (4 + 4)] = 2 × [34 − 8] = 2 × 26 = 52
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (6 + 5 + 5) = 7 × (11 + 5) = 7 × 16 = 112
8 + 2 − (6 − 2) = 8 + 2 − 4 = 10 − 4 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 51 − 17 × 41 = 17 × (51 − 41) = 17 × 10 = 170
F = 48 × 101 = 48 × (100 + 1) = 48 × 100 + 48 × 1 = 4 800 + 48 = 4 848
G = 15 + 7,8 + 85 = 15 + 85 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 8 × 8 = 8²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (2 + 4)² = 2² + 4² » Faux. (2 + 4)² = 6² = 36, alors que 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 9 = 3 × 4 − 9 = 12 − 9 = 3
B = (3 × 2)² − 9 = 6² − 9 = 36 − 9 = 27
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : (a + 4)² = (2 + 4)² = 6² = 36
Pour a = 0,5 : (a + 4)² = (0,5 + 4)² = 4,5² = 20,25
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 341 et 401. » → encore 59 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 361, 400.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 361.
Le nombre mystère est 361 (361 = 19²).
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