Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (13 − 5) × 2 = 8 × 2 = 16
B = 13 − 5 × 2 = 13 − 10 = 3
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 3.
D = (6 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 4.
E = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 178 = 890 ≤ 894 < 895 = 5 × 179 : le quotient est 178, le reste 894 − 890 = 4.
894 = 5 × 178 + 4, avec 4 < 5.
29 × 19 = 551 ≤ 559 < 580 = 29 × 20 : le quotient est 19, le reste 559 − 551 = 8.
559 = 29 × 19 + 8, avec 8 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 187 = 7 × 26 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 187 = 7 × 27 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 187 = 7 × 25 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 26, reste 5.
Comme 5 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 187 par 26 : quotient 7, reste 5.
3. 42 = 12 × 3 + 6
3 minibus pleins transportent 36 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 6 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 755 | non | non | oui | non | non |
| 7 832 | oui | non | non | non | non |
| 9 909 | non | oui | non | oui | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 1 280 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
755 → 7 + 5 + 5 = 17 7 832 → 7 + 8 + 3 + 2 = 20 9 909 → 9 + 9 + 0 + 9 = 27
831 → 8 + 3 + 1 = 12 1 280 → 1 + 2 + 8 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 3 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 333.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 192 est un multiple de 8. » Vrai. 192 = 8 × 24 : le reste de la division de 192 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 − 2 + 15 = 19 + 15 = 34
B = 12 + 14 ÷ 2 × 4 = 12 + 7 × 4 = 12 + 28 = 40
C = (7 + 11) × 6 − 15 = 18 × 6 − 15 = 108 − 15 = 93
D = 2 × [36 − (9 + 9)] = 2 × [36 − 18] = 2 × 18 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (8 + 7 − 5) = 7 × (15 − 5) = 7 × 10 = 70
(5 + 8) × 9 − 2 = 13 × 9 − 2 = 117 − 2 = 115
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 39 × 99 = 39 × (100 − 1) = 39 × 100 − 39 × 1 = 3 900 − 39 = 3 861
F = 66 + 3,45 + 34 = 66 + 34 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 × 6 = 6³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (4 + 2)² = 4² + 2² » Faux. (4 + 2)² = 6² = 36, alors que 4² + 2² = 16 + 4 = 20.
« 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²) 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 4 = 3 × 25 − 4 = 75 − 4 = 71
B = (3 × 5)² − 4 = 15² − 4 = 225 − 4 = 221
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 5x = 5 × 2 = 10.
10 = 10 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 6 : x² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 5x = 5 × 6 = 30.
42 ≠ 30 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 2 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
2 × 5 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 12 et 66. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 16, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.