Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 1)² = 3² = 9
B = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 1² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 5.
E = (13 + 35) ÷ 6 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 13 et 35 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 242 = 968 ≤ 970 < 972 = 4 × 243 : le quotient est 242, le reste 970 − 968 = 2.
970 = 4 × 242 + 2, avec 2 < 4.
14 × 176 = 2 464 ≤ 2 474 < 2 478 = 14 × 177 : le quotient est 176, le reste 2 474 − 2 464 = 10.
2 474 = 14 × 176 + 10, avec 10 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 177 = 15 × 11 + 12 : le reste 12 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 177 = 15 × 12 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 177 = 15 × 10 + 27 : le « reste » 27 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 11, reste 12.
3. 363 = 7 × 51 + 6
a) 363 jours font 51 semaines complètes et 6 jours.
Après 51 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 6 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 363 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 275 | non | non | oui | non | non |
| 5 121 | non | oui | non | oui | non |
| 8 270 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 772 | oui | non | non | non | non |
| 537 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
275 → 2 + 7 + 5 = 14 5 121 → 5 + 1 + 2 + 1 = 9 8 270 → 8 + 2 + 7 + 0 = 17
9 772 → 9 + 7 + 7 + 2 = 25 537 → 5 + 3 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 6 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 426, 456, 486.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 144, somme des chiffres 9.
« 126 est un multiple de 9. » Vrai. 126 = 9 × 14 : le reste de la division de 126 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 58 − 5 × 9 = 58 − 45 = 13
B = 5 + 21 ÷ 3 × 4 = 5 + 7 × 4 = 5 + 28 = 33
C = 57 − 2 × (12 − 7) = 57 − 2 × 5 = 57 − 10 = 47
D = [3 + 7 × (6 − 2)] ÷ 5 = [3 + 7 × 4] ÷ 5 = [3 + 28] ÷ 5 = 31 ÷ 5 = 6,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 6) × 3 − 4 = 9 × 3 − 4 = 27 − 4 = 23
(2 × 6 − 2) × 5 = (12 − 2) × 5 = 10 × 5 = 50
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 79 + 12,6 + 21 = 79 + 21 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 29 × 101 = 29 × (100 + 1) = 29 × 100 + 29 × 1 = 2 900 + 29 = 2 929
G = 25 × 56 + 25 × 44 = 25 × (56 + 44) = 25 × 100 = 2 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 6 × 6 × 6 = 6³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²)
113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 1 = 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11
B = (3 × 2)² − 1 = 6² − 1 = 36 − 1 = 35
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : n² + 4n = 6² + 4 × 6 = 36 + 4 × 6 = 36 + 24 = 60
Pour n = 0,5 : n² + 4n = 0,5² + 4 × 0,5 = 0,25 + 4 × 0,5 = 0,25 + 2 = 2,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 34 :
5² = 25 ≤ 34 et 6² = 36 > 34.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
34 − 25 = 9
b) Il lui restera 9 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 204 et 262. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 225, 256.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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