Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 + 8) ÷ 4 = 28 ÷ 4 = 7
B = 20 + 8 ÷ 4 = 20 + 2 = 22
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 4.
D = (16 + 20) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 16 et 20 par 9.
E = (4 + 9) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 9 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 61 = 488 ≤ 492 < 496 = 8 × 62 : le quotient est 61, le reste 492 − 488 = 4.
492 = 8 × 61 + 4, avec 4 < 8.
21 × 55 = 1 155 ≤ 1 174 < 1 176 = 21 × 56 : le quotient est 55, le reste 1 174 − 1 155 = 19.
1 174 = 21 × 55 + 19, avec 19 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 165 = 7 × 23 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 165 = 7 × 24 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 165 = 7 × 22 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 23, reste 4.
Comme 4 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 165 par 23 : quotient 7, reste 4.
3. 55 = 12 × 4 + 7
4 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 7 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 692 | oui | non | non | non | non |
| 3 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 447 | non | oui | non | non | non |
| 5 931 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
9 692 → 9 + 6 + 9 + 2 = 26 3 610 → 3 + 6 + 1 + 0 = 10 445 → 4 + 4 + 5 = 13
447 → 4 + 4 + 7 = 15 5 931 → 5 + 9 + 3 + 1 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 1 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 510, 516.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 96 est un multiple de 5. » Faux. 96 = 5 × 19 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 4 × 9 = 3 + 36 = 39
B = 27 ÷ 9 × 3 = 3 × 3 = 9
C = (8 × 6 − 8) ÷ 2 = (48 − 8) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20
D = [6 + 2 × (7 − 4)] ÷ 5 = [6 + 2 × 3] ÷ 5 = [6 + 6] ÷ 5 = 12 ÷ 5 = 2,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 9) × 2 + 4 = 14 × 2 + 4 = 28 + 4 = 32
3 × (9 − 5) − 6 = 3 × 4 − 6 = 12 − 6 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 85 × 20 = 5 × 20 × 85 = 100 × 85 = 8 500
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 45 × 9 = 45 × (10 − 1) = 45 × 10 − 45 × 1 = 450 − 45 = 405
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 4 × 4 × 4 = 4³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (3 + 4)² = 3² + 4² » Faux. (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²)
36 = 6² : carré 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 4 = 3 × 4² − 4 = 3 × 16 − 4 = 48 − 4 = 44
B = (3a)² − 4 = (3 × 4)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 190 et 260. » → encore 69 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225, 256.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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