Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 13 − 6 × 2 = 13 − 12 = 1
B = (13 − 6) × 2 = 7 × 2 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 + 48 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 48 par 6.
D = 6 × (5 − 2) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 5 et 2.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 65 = 390 ≤ 395 < 396 = 6 × 66 : le quotient est 65, le reste 395 − 390 = 5.
395 = 6 × 65 + 5, avec 5 < 6.
12 × 120 = 1 440 ≤ 1 441 < 1 452 = 12 × 121 : le quotient est 120, le reste 1 441 − 1 440 = 1.
1 441 = 12 × 120 + 1, avec 1 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 258 = 9 × 28 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 258 = 9 × 27 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 258 = 9 × 29 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 28, reste 6.
Comme 6 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 258 par 28 : quotient 9, reste 6.
3. 311 = 7 × 44 + 3
a) 311 jours font 44 semaines complètes et 3 jours.
Après 44 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 3 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi.
b) Dans 311 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 530 | oui | non | oui | non | oui |
| 665 | non | non | oui | non | non |
| 2 691 | non | oui | non | oui | non |
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 3 658 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 530 → 6 + 5 + 3 + 0 = 14 665 → 6 + 6 + 5 = 17 2 691 → 2 + 6 + 9 + 1 = 18
921 → 9 + 2 + 1 = 12 3 658 → 3 + 6 + 5 + 8 = 22
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 153.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 8 est un diviseur de 240. » Vrai. 240 = 8 × 30 : le reste de la division de 240 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 11 + 11 = 24 + 11 = 35
B = 19 + 48 ÷ 6 × 3 = 19 + 8 × 3 = 19 + 24 = 43
C = 67 − 2 × (18 − 8) = 67 − 2 × 10 = 67 − 20 = 47
D = [7 + 9 × (9 − 3)] ÷ 5 = [7 + 9 × 6] ÷ 5 = [7 + 54] ÷ 5 = 61 ÷ 5 = 12,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (8 × 4 − 6) = 3 × (32 − 6) = 3 × 26 = 78
(4 × 5 + 2) × 4 = (20 + 2) × 4 = 22 × 4 = 88
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 65 + 5,05 + 35 = 65 + 35 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 × 3 = 3³ 5 × 5 = 5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 77 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 77 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 129 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 129 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 1 = 4 × 16 − 1 = 64 − 1 = 63
B = (4 × 4)² − 1 = 16² − 1 = 256 − 1 = 255
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 7 = 2 × 5² − 7 = 2 × 25 − 7 = 50 − 7 = 43
B = (2a)² − 7 = (2 × 5)² − 7 = 10² − 7 = 100 − 7 = 93
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
3 × 4 = 12
a) Il faut 12 carreaux le long d'un côté.
12 rangées de 12 carreaux : 12² = 12 × 12 = 144
b) Il faut 144 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 120 et 159. » → encore 38 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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