Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 2)² = 6² = 36
B = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 9² − 7 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 9 et 7.
D = 5² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 2.
E = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 73 = 365 ≤ 369 < 370 = 5 × 74 : le quotient est 73, le reste 369 − 365 = 4.
369 = 5 × 73 + 4, avec 4 < 5.
22 × 83 = 1 826 ≤ 1 836 < 1 848 = 22 × 84 : le quotient est 83, le reste 1 836 − 1 826 = 10.
1 836 = 22 × 83 + 10, avec 10 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 244 = 6 × 41 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 244 = 6 × 40 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 244 = 6 × 39 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 4.
Comme 4 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 244 par 40 : quotient 6, reste 4.
3. 109 = 12 × 9 + 1, avec 1 < 12
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 028 | oui | non | non | non | non |
| 2 150 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 241 | non | oui | non | oui | non |
| 125 | non | non | oui | non | non |
| 291 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 028 → 3 + 0 + 2 + 8 = 13 2 150 → 2 + 1 + 5 + 0 = 8 2 241 → 2 + 2 + 4 + 1 = 9
125 → 1 + 2 + 5 = 8 291 → 2 + 9 + 1 = 12
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 0 + □ = 1 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 8 : 9
2 solutions : 102, 108.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 6 est un diviseur de 78. » Vrai. 78 = 6 × 13 : le reste de la division de 78 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 6 × 5 = 5 + 30 = 35
B = 8 × 6 − 4 × 6 = 48 − 24 = 24
C = (9 × 7 − 3) ÷ 2 = (63 − 3) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30
D = [5 + 3 × (8 − 3)] ÷ 2 = [5 + 3 × 5] ÷ 2 = [5 + 15] ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 × 3 + 7) × 3 = (27 + 7) × 3 = 34 × 3 = 102
7 + 2 × (3 − 2) = 7 + 2 × 1 = 7 + 2 = 9
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 33 × 99 = 33 × (100 − 1) = 33 × 100 − 33 × 1 = 3 300 − 33 = 3 267
F = 2 × 84 × 5 = 2 × 5 × 84 = 10 × 84 = 840
G = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 7 × 7 = 7² 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²) 137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 3 = 5 × 25 − 3 = 125 − 3 = 122
B = (5 × 5)² − 3 = 25² − 3 = 625 − 3 = 622
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 5 = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3x)² − 5 = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 22 et 60. » → encore 37 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 25, 49.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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