Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (32 + 24) ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14
B = 32 + 24 ÷ 4 = 32 + 6 = 38
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
E = 3² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 82 = 738 ≤ 745 < 747 = 9 × 83 : le quotient est 82, le reste 745 − 738 = 7.
745 = 9 × 82 + 7, avec 7 < 9.
22 × 50 = 1 100 ≤ 1 107 < 1 122 = 22 × 51 : le quotient est 50, le reste 1 107 − 1 100 = 7.
1 107 = 22 × 50 + 7, avec 7 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 214 = 6 × 36 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 214 = 6 × 35 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 214 = 6 × 34 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 35, reste 4.
Comme 4 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 214 par 35 : quotient 6, reste 4.
3. 76 = 16 × 4 + 12
4 minibus pleins transportent 64 élèves ; il en reste 12 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 12 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 4 383 | non | oui | non | oui | non |
| 3 286 | oui | non | non | non | non |
| 8 030 | oui | non | oui | non | oui |
| 835 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
501 → 5 + 0 + 1 = 6 4 383 → 4 + 3 + 8 + 3 = 18 3 286 → 3 + 2 + 8 + 6 = 19
8 030 → 8 + 0 + 3 + 0 = 11 835 → 8 + 3 + 5 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 8 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 585.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 66 est divisible par 3 (66 = 3 × 22) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 58 est un multiple de 5. » Faux. 58 = 5 × 11 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 + 2 × 9 = 20 + 18 = 38
B = 6 × 8 − 3 × 3 = 48 − 9 = 39
C = (8 × 6 − 2) ÷ 2 = (48 − 2) ÷ 2 = 46 ÷ 2 = 23
D = 1,9 + 6 × 0,2 = 1,9 + 1,2 = 3,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (7 × 4 − 5) = 6 × (28 − 5) = 6 × 23 = 138
(9 × 2 + 9) × 7 = (18 + 9) × 7 = 27 × 7 = 189
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 × 99 = 19 × (100 − 1) = 19 × 100 − 19 × 1 = 1 900 − 19 = 1 881
F = 5 × 88 × 20 = 5 × 20 × 88 = 100 × 88 = 8 800
G = 12,5 × 0,8 + 12,5 × 0,2 = 12,5 × (0,8 + 0,2) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 2 × 2 × 2 = 2³ 6 × 6 = 6²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 29 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 29 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 1 = 3 × 25 − 1 = 75 − 1 = 74
B = (3 × 5)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 4 = 3 × 2² − 4 = 3 × 4 − 4 = 12 − 4 = 8
B = (3a)² − 4 = (3 × 2)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 60. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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