Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 12 + 7 × 3 = 12 + 21 = 33
B = (12 + 7) × 3 = 19 × 3 = 57
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
D = 5 × 8² − 17 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 8 et 17.
E = 3² + 8² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 90 = 720 ≤ 724 < 728 = 8 × 91 : le quotient est 90, le reste 724 − 720 = 4.
724 = 8 × 90 + 4, avec 4 < 8.
29 × 68 = 1 972 ≤ 1 980 < 2 001 = 29 × 69 : le quotient est 68, le reste 1 980 − 1 972 = 8.
1 980 = 29 × 68 + 8, avec 8 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 309 = 9 × 34 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 309 = 9 × 33 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 309 = 9 × 35 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 34, reste 3.
Comme 3 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 309 par 34 : quotient 9, reste 3.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 510 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 459 | non | oui | non | oui | non |
| 3 722 | oui | non | non | non | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 231 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 510 → 4 + 5 + 1 + 0 = 10 9 459 → 9 + 4 + 5 + 9 = 27 3 722 → 3 + 7 + 2 + 2 = 14
575 → 5 + 7 + 5 = 17 231 → 2 + 3 + 1 = 6
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 2 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 120, 126.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 192 est un multiple de 8. » Vrai. 192 = 8 × 24 : le reste de la division de 192 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 4 + 5 × 5 = 4 + 25 = 29
B = 17 + 40 ÷ 8 × 4 = 17 + 5 × 4 = 17 + 20 = 37
C = (3 + 11) × 3 − 17 = 14 × 3 − 17 = 42 − 17 = 25
D = 2 × [40 − (7 + 8)] = 2 × [40 − 15] = 2 × 25 = 50
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (5 − 2) − 9 = 4 × 3 − 9 = 12 − 9 = 3
(8 + 5) × 7 + 3 = 13 × 7 + 3 = 91 + 3 = 94
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 53 + 12,6 + 47 = 53 + 47 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 13 × 11 = 13 × (10 + 1) = 13 × 10 + 13 × 1 = 130 + 13 = 143
G = 16 × 51 + 16 × 49 = 16 × (51 + 49) = 16 × 100 = 1 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 8 × 8 = 8² 2,5 × 2,5 = 2,5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (3 + 5)² = 3² + 5² » Faux. (3 + 5)² = 8² = 64, alors que 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 4 = 2 × 16 − 4 = 32 − 4 = 28
B = (2 × 4)² − 4 = 8² − 4 = 64 − 4 = 60
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 5 = 2 × 4² − 5 = 2 × 16 − 5 = 32 − 5 = 27
B = (2x)² − 5 = (2 × 4)² − 5 = 8² − 5 = 64 − 5 = 59
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 51 et 86. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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