Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 2)² = 8² = 64
B = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 10² − 36 est une différence : c'est la différence entre le carré de 10 et 36.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 74 = 592 ≤ 594 < 600 = 8 × 75 : le quotient est 74, le reste 594 − 592 = 2.
594 = 8 × 74 + 2, avec 2 < 8.
12 × 45 = 540 ≤ 545 < 552 = 12 × 46 : le quotient est 45, le reste 545 − 540 = 5.
545 = 12 × 45 + 5, avec 5 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 197 = 6 × 32 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 197 = 6 × 33 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 197 = 6 × 31 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 32, reste 5.
Comme 5 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 197 par 32 : quotient 6, reste 5.
3. 131 = 20 × 6 + 11
En 6 soirs, elle lit 120 pages ; il lui en reste encore 11.
a) Il lui faut 6 + 1 = 7 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 11 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 751 | non | oui | non | oui | non |
| 4 684 | oui | non | non | non | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 9 240 | oui | oui | oui | non | oui |
| 125 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 751 → 5 + 7 + 5 + 1 = 18 4 684 → 4 + 6 + 8 + 4 = 22 597 → 5 + 9 + 7 = 21
9 240 → 9 + 2 + 4 + 0 = 15 125 → 1 + 2 + 5 = 8
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 3 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 435.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 78 est divisible par 3 (78 = 3 × 26) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 96. » Vrai. 96 = 4 × 24 : le reste de la division de 96 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 86 − 2 × 7 = 86 − 14 = 72
B = 36 ÷ 9 × 2 = 4 × 2 = 8
C = (4 + 11) × 6 − 12 = 15 × 6 − 12 = 90 − 12 = 78
D = [6 + 7 × (9 − 2)] ÷ 5 = [6 + 7 × 7] ÷ 5 = [6 + 49] ÷ 5 = 55 ÷ 5 = 11
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 − (4 + 2) + 3 = 6 − 6 + 3 = 0 + 3 = 3
8 × (7 + 7) − 4 = 8 × 14 − 4 = 112 − 4 = 108
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 11 = 22 × (10 + 1) = 22 × 10 + 22 × 1 = 220 + 22 = 242
F = 1,5 × 0,7 + 1,5 × 0,3 = 1,5 × (0,7 + 0,3) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 14 + 7,8 + 86 = 14 + 86 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 12 × 12 = 12²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²)
16 = 4² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 7 = 4 × 4 − 7 = 16 − 7 = 9
B = (4 × 2)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 3 : n² + 6 = 3² + 6 = 9 + 6 = 15 et 5n = 5 × 3 = 15.
15 = 15 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Pour n = 7 : n² + 6 = 7² + 6 = 49 + 6 = 55 et 5n = 5 × 7 = 35.
55 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 3 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 26 et 71. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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