Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 3 + 6 × 3 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 6 par 3.
E = 2 × 7² − 3 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 7 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 39 = 351 ≤ 359 < 360 = 9 × 40 : le quotient est 39, le reste 359 − 351 = 8.
359 = 9 × 39 + 8, avec 8 < 9.
21 × 70 = 1 470 ≤ 1 486 < 1 491 = 21 × 71 : le quotient est 70, le reste 1 486 − 1 470 = 16.
1 486 = 21 × 70 + 16, avec 16 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 222 = 12 × 18 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 222 = 12 × 19 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 222 = 12 × 17 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 18, reste 6.
Comme 6 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 222 par 18 : quotient 12, reste 6.
3. 210 = 12 × 17 + 6, avec 6 < 12
a) Elle remplit 17 boîtes pleines.
b) Il reste 6 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 4 588 | oui | non | non | non | non |
| 1 521 | non | oui | non | oui | non |
| 875 | non | non | oui | non | non |
| 4 440 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
141 → 1 + 4 + 1 = 6 4 588 → 4 + 5 + 8 + 8 = 25 1 521 → 1 + 5 + 2 + 1 = 9
875 → 8 + 7 + 5 = 20 4 440 → 4 + 4 + 4 + 0 = 12
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 5 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 225.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 87 est un multiple de 3. » Vrai. 87 = 3 × 29 : le reste de la division de 87 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 60 − 5 + 15 = 55 + 15 = 70
B = 20 + 36 ÷ 9 × 4 = 20 + 4 × 4 = 20 + 16 = 36
C = (6 × 3 − 8) ÷ 4 = (18 − 8) ÷ 4 = 10 ÷ 4 = 2,5
D = [7 + 9 × (9 − 4)] ÷ 5 = [7 + 9 × 5] ÷ 5 = [7 + 45] ÷ 5 = 52 ÷ 5 = 10,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (6 × 6 − 7) = 3 × (36 − 7) = 3 × 29 = 87
(4 + 2) × 3 − 9 = 6 × 3 − 9 = 18 − 9 = 9
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 9 = 47 × (10 − 1) = 47 × 10 − 47 × 1 = 470 − 47 = 423
F = 26 × 58 + 26 × 42 = 26 × (58 + 42) = 26 × 100 = 2 600
G = 12 + 12,6 + 88 = 12 + 88 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 5 × 5 = 5² 0,7 × 0,7 = 0,7²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²) 100 = 10² : carré
131 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 131 < 144 = 12²) 135 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 135 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 3 = 5 × 25 − 3 = 125 − 3 = 122
B = (5 × 5)² − 3 = 25² − 3 = 625 − 3 = 622
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : (a + 5)² = (6 + 5)² = 11² = 121
Pour a = 0,5 : (a + 5)² = (0,5 + 5)² = 5,5² = 30,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 158 :
12² = 144 ≤ 158 et 13² = 169 > 158.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
158 − 144 = 14
b) Il lui restera 14 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 60 et 139. » → encore 78 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 64, 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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