Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 5.
D = (5 + 5) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 5 par 9.
E = 8² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 44 = 352 ≤ 354 < 360 = 8 × 45 : le quotient est 44, le reste 354 − 352 = 2.
354 = 8 × 44 + 2, avec 2 < 8.
26 × 90 = 2 340 ≤ 2 343 < 2 366 = 26 × 91 : le quotient est 90, le reste 2 343 − 2 340 = 3.
2 343 = 26 × 90 + 3, avec 3 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 134 = 8 × 15 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 134 = 8 × 17 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 134 = 8 × 16 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 16, reste 6.
Comme 6 < 16 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 134 par 16 : quotient 8, reste 6.
3. 135 = 12 × 11 + 3
En 11 soirs, elle lit 132 pages ; il lui en reste encore 3.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 3 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 895 | non | non | oui | non | non |
| 8 024 | oui | non | non | non | non |
| 651 | non | oui | non | non | non |
| 5 600 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 189 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
895 → 8 + 9 + 5 = 22 8 024 → 8 + 0 + 2 + 4 = 14 651 → 6 + 5 + 1 = 12
5 600 → 5 + 6 + 0 + 0 = 11 9 189 → 9 + 1 + 8 + 9 = 27
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 0 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 630.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 60 est un multiple de 4. » Vrai. 60 = 4 × 15 : le reste de la division de 60 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 64 − 2 × 7 = 64 − 14 = 50
B = 6 × 6 − 6 × 3 = 36 − 18 = 18
C = (12 + 9) × 3 − 12 = 21 × 3 − 12 = 63 − 12 = 51
D = [6 + 8 × (9 − 5)] ÷ 5 = [6 + 8 × 4] ÷ 5 = [6 + 32] ÷ 5 = 38 ÷ 5 = 7,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 × 3 − 9) × 2 = (18 − 9) × 2 = 9 × 2 = 18
(3 + 4 + 7) × 2 = (7 + 7) × 2 = 14 × 2 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 35 + 12,6 + 65 = 35 + 65 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 27 × 101 = 27 × (100 + 1) = 27 × 100 + 27 × 1 = 2 700 + 27 = 2 727
G = 17 × 43 + 17 × 57 = 17 × (43 + 57) = 17 × 100 = 1 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 6 × 6 × 6 = 6³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
80 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 80 < 81 = 9²) 115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 2 = 3 × 25 − 2 = 75 − 2 = 73
B = (3 × 5)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 5 : x² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9x = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Pour x = 1 : x² + 20 = 1² + 20 = 1 + 20 = 21 et 9x = 9 × 1 = 9.
21 ≠ 9 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 165 :
12² = 144 ≤ 165 et 13² = 169 > 165.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
165 − 144 = 21
b) Il lui restera 21 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 77. » → encore 67 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 16, 25, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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