Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
D = 3² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 9.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 124 = 372 ≤ 374 < 375 = 3 × 125 : le quotient est 124, le reste 374 − 372 = 2.
374 = 3 × 124 + 2, avec 2 < 3.
21 × 91 = 1 911 ≤ 1 931 < 1 932 = 21 × 92 : le quotient est 91, le reste 1 931 − 1 911 = 20.
1 931 = 21 × 91 + 20, avec 20 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 141 = 11 × 11 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 141 = 11 × 12 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 141 = 11 × 13 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 12, reste 9.
Comme 9 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 141 par 12 : quotient 11, reste 9.
3. 269 = 18 × 14 + 17
En 14 soirs, elle lit 252 pages ; il lui en reste encore 17.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 17 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 995 | non | non | oui | non | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 9 776 | oui | non | non | non | non |
| 4 670 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 029 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
995 → 9 + 9 + 5 = 23 141 → 1 + 4 + 1 = 6 9 776 → 9 + 7 + 7 + 6 = 29
4 670 → 4 + 6 + 7 + 0 = 17 7 029 → 7 + 0 + 2 + 9 = 18
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 2 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 342.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 666, somme des chiffres 18.
« 4 est un diviseur de 97. » Faux. 97 = 4 × 24 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 54 − 13 + 14 = 41 + 14 = 55
B = 20 ÷ 5 × 2 = 4 × 2 = 8
C = 59 − 2 × (13 − 2) = 59 − 2 × 11 = 59 − 22 = 37
D = 2,7 + 6 × 1,2 = 2,7 + 7,2 = 9,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 + 3 − 2) × 2 = (10 − 2) × 2 = 8 × 2 = 16
(7 + 6 + 5) × 5 = (13 + 5) × 5 = 18 × 5 = 90
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 45 × 125 = 8 × 125 × 45 = 1 000 × 45 = 45 000
F = 14 × 99 = 14 × (100 − 1) = 14 × 100 − 14 × 1 = 1 400 − 14 = 1 386
G = 48 × 65 − 48 × 55 = 48 × (65 − 55) = 48 × 10 = 480
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
81 = 9² : carré 94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²)
96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²) 132 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 132 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : (x + 9)² = (3 + 9)² = 12² = 144
Pour x = 10 : (x + 9)² = (10 + 9)² = 19² = 361
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 46 et 80. » → encore 33 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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