Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 2)² = 8² = 64
B = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 5 × 5² − 1 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 5 et 1.
E = 11 + 3 × 5 est une somme : c'est la somme de 11 et du produit de 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 273 = 819 ≤ 820 < 822 = 3 × 274 : le quotient est 273, le reste 820 − 819 = 1.
820 = 3 × 273 + 1, avec 1 < 3.
27 × 57 = 1 539 ≤ 1 561 < 1 566 = 27 × 58 : le quotient est 57, le reste 1 561 − 1 539 = 22.
1 561 = 27 × 57 + 22, avec 22 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 86 = 10 × 7 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 86 = 10 × 9 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 86 = 10 × 8 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 8, reste 6.
Comme 6 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 86 par 8 : quotient 10, reste 6.
3. 223 = 6 × 37 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 37 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 461 | non | oui | non | oui | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 3 104 | oui | non | non | non | non |
| 5 490 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
7 461 → 7 + 4 + 6 + 1 = 18 215 → 2 + 1 + 5 = 8 327 → 3 + 2 + 7 = 12
3 104 → 3 + 1 + 0 + 4 = 8 5 490 → 5 + 4 + 9 + 0 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 3 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 432, 438.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 64 est pair mais 64 = 3 × 21 + 1.
« 127 est un multiple de 5. » Faux. 127 = 5 × 25 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 40 − 3 × 4 = 40 − 12 = 28
B = 10 + 36 ÷ 9 × 2 = 10 + 4 × 2 = 10 + 8 = 18
C = (12 + 5) × 2 − 8 = 17 × 2 − 8 = 34 − 8 = 26
D = 4 × [23 − (6 + 2)] = 4 × [23 − 8] = 4 × 15 = 60
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 6 − (4 + 5) = 7 + 6 − 9 = 13 − 9 = 4
3 + (6 + 7) × 6 = 3 + 13 × 6 = 3 + 78 = 81
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 89 + 5,05 + 11 = 89 + 11 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 44 × 9 = 44 × (10 − 1) = 44 × 10 − 44 × 1 = 440 − 44 = 396
G = 44 × 47 + 44 × 53 = 44 × (47 + 53) = 44 × 100 = 4 400
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 7 × 7 = 7²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 125 = 5³ : cube
127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²) 128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 3 = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17
B = (5 × 2)² − 3 = 10² − 3 = 100 − 3 = 97
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 24 = 2² + 24 = 4 + 24 = 28 et 10x = 10 × 2 = 20.
28 ≠ 20 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Pour x = 4 : x² + 24 = 4² + 24 = 16 + 24 = 40 et 10x = 10 × 4 = 40.
40 = 40 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 4 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 84 :
9² = 81 ≤ 84 et 10² = 100 > 84.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
84 − 81 = 3
b) Il lui restera 3 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 64 et 118. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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