Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (19 − 11) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 19 et 11.
D = 2 + 3 × 3 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 3 par 3.
E = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 67 = 536 ≤ 541 < 544 = 8 × 68 : le quotient est 67, le reste 541 − 536 = 5.
541 = 8 × 67 + 5, avec 5 < 8.
22 × 24 = 528 ≤ 535 < 550 = 22 × 25 : le quotient est 24, le reste 535 − 528 = 7.
535 = 22 × 24 + 7, avec 7 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 96 = 9 × 9 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 96 = 9 × 10 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 96 = 9 × 11 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 6.
Comme 6 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 96 par 10 : quotient 9, reste 6.
3. 32 = 6 × 5 + 2, avec 2 < 6
a) Chaque joueur reçoit 5 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 2 520 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 5 146 | oui | non | non | non | non |
| 205 | non | non | oui | non | non |
| 8 361 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
327 → 3 + 2 + 7 = 12 2 520 → 2 + 5 + 2 + 0 = 9 5 146 → 5 + 1 + 4 + 6 = 16
205 → 2 + 0 + 5 = 7 8 361 → 8 + 3 + 6 + 1 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 6 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 660.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 93 est divisible par 3 (93 = 3 × 31) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 8 est un diviseur de 148. » Faux. 148 = 8 × 18 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 79 − 6 × 2 = 79 − 12 = 67
B = 8 × 5 − 3 × 2 = 40 − 6 = 34
C = 85 − 2 × (13 − 9) = 85 − 2 × 4 = 85 − 8 = 77
D = 5,1 + 4 × 0,2 = 5,1 + 0,8 = 5,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 8) × 5 − 6 = 11 × 5 − 6 = 55 − 6 = 49
(5 + 7 × 4) × 3 = (5 + 28) × 3 = 33 × 3 = 99
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 101 = 13 × (100 + 1) = 13 × 100 + 13 × 1 = 1 300 + 13 = 1 313
F = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 14 + 7,8 + 86 = 14 + 86 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 4 = 4 × 36 − 4 = 144 − 4 = 140
B = (4 × 6)² − 4 = 24² − 4 = 576 − 4 = 572
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 12 = 3² + 12 = 9 + 12 = 21 et 7x = 7 × 3 = 21.
21 = 21 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Pour x = 8 : x² + 12 = 8² + 12 = 64 + 12 = 76 et 7x = 7 × 8 = 56.
76 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 3 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
4 × 2 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 32 et 99. » → encore 66 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64, 81.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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