Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 1)² = 5² = 25
B = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 23 − 7 × 2 est une différence : c'est la différence entre 23 et le produit de 7 par 2.
D = (12 + 4) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 4 par 8.
E = 14 + 5 × 3 est une somme : c'est la somme de 14 et du produit de 5 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 50 = 450 ≤ 456 < 459 = 9 × 51 : le quotient est 50, le reste 456 − 450 = 6.
456 = 9 × 50 + 6, avec 6 < 9.
14 × 101 = 1 414 ≤ 1 415 < 1 428 = 14 × 102 : le quotient est 101, le reste 1 415 − 1 414 = 1.
1 415 = 14 × 101 + 1, avec 1 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 160 = 15 × 11 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 160 = 15 × 9 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 160 = 15 × 10 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 10.
3. 134 = 15 × 8 + 14
8 minibus pleins transportent 120 élèves ; il en reste 14 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 14 = 1 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 314 | oui | non | non | non | non |
| 2 943 | non | oui | non | oui | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 335 | non | non | oui | non | non |
| 3 100 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 314 → 5 + 3 + 1 + 4 = 13 2 943 → 2 + 9 + 4 + 3 = 18 831 → 8 + 3 + 1 = 12
335 → 3 + 3 + 5 = 11 3 100 → 3 + 1 + 0 + 0 = 4
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 9 + □ = 16 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 18 ; □ = 8 : 24
2 solutions : 792, 798.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 7 est un diviseur de 144. » Faux. 144 = 7 × 20 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 58 − 14 + 6 = 44 + 6 = 50
B = 11 + 32 ÷ 8 × 4 = 11 + 4 × 4 = 11 + 16 = 27
C = 82 − 2 × (12 − 9) = 82 − 2 × 3 = 82 − 6 = 76
D = [7 + 6 × (11 − 4)] ÷ 2 = [7 + 6 × 7] ÷ 2 = [7 + 42] ÷ 2 = 49 ÷ 2 = 24,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (6 − 2 + 5) = 6 × (4 + 5) = 6 × 9 = 54
3 × 6 − (4 + 6) = 3 × 6 − 10 = 18 − 10 = 8
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 86 − 27 × 76 = 27 × (86 − 76) = 27 × 10 = 270
F = 43 × 99 = 43 × (100 − 1) = 43 × 100 − 43 × 1 = 4 300 − 43 = 4 257
G = 35 + 5,05 + 65 = 35 + 65 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 = 6² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²) 56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
130 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 130 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 5 = 2 × 4 − 5 = 8 − 5 = 3
B = (2 × 2)² − 5 = 4² − 5 = 16 − 5 = 11
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 1 = 4 × 3² − 1 = 4 × 9 − 1 = 36 − 1 = 35
B = (4a)² − 1 = (4 × 3)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 154 et 207. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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