Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 6) × 6 = 11 × 6 = 66
B = 5 + 6 × 6 = 5 + 36 = 41
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 49 − 7 × 6 est une différence : c'est la différence entre 49 et le produit de 7 par 6.
D = (7 + 5) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 5 par 7.
E = (26 + 55) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 26 et 55 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 310 = 930 ≤ 932 < 933 = 3 × 311 : le quotient est 310, le reste 932 − 930 = 2.
932 = 3 × 310 + 2, avec 2 < 3.
19 × 103 = 1 957 ≤ 1 962 < 1 976 = 19 × 104 : le quotient est 103, le reste 1 962 − 1 957 = 5.
1 962 = 19 × 103 + 5, avec 5 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 125 = 6 × 21 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 125 = 6 × 20 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 125 = 6 × 19 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 20, reste 5.
Comme 5 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 125 par 20 : quotient 6, reste 5.
3. 94 = 7 × 13 + 3
a) 94 jours font 13 semaines complètes et 3 jours.
Après 13 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 3 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 94 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 3 850 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 807 | non | oui | non | oui | non |
| 9 676 | oui | non | non | non | non |
| 425 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
201 → 2 + 0 + 1 = 3 3 850 → 3 + 8 + 5 + 0 = 16 3 807 → 3 + 8 + 0 + 7 = 18
9 676 → 9 + 6 + 7 + 6 = 28 425 → 4 + 2 + 5 = 11
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 7 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 207, 237, 267, 297.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 86 est pair mais 86 = 3 × 28 + 2.
« 49 est un multiple de 3. » Faux. 49 = 3 × 16 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 40 − 6 × 6 = 40 − 36 = 4
B = 40 ÷ 8 × 2 = 5 × 2 = 10
C = (3 × 7 − 1) ÷ 4 = (21 − 1) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5
D = 5 × [24 − (5 + 7)] = 5 × [24 − 12] = 5 × 12 = 60
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 6 − (7 − 5) = 9 + 6 − 2 = 15 − 2 = 13
(9 + 5 − 2) × 7 = (14 − 2) × 7 = 12 × 7 = 84
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 30 + 0,75 + 70 = 30 + 70 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 41 × 9 = 41 × (10 − 1) = 41 × 10 − 41 × 1 = 410 − 41 = 369
G = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
135 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 135 < 144 = 12²) 141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 9 = 4 × 16 − 9 = 64 − 9 = 55
B = (4 × 4)² − 9 = 16² − 9 = 256 − 9 = 247
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 4 = 2 × 5² − 4 = 2 × 25 − 4 = 50 − 4 = 46
B = (2a)² − 4 = (2 × 5)² − 4 = 10² − 4 = 100 − 4 = 96
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 56 et 83. » → encore 26 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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