Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 2² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 6.
E = 4 × 6² − 13 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 6 et 13.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 88 = 792 ≤ 793 < 801 = 9 × 89 : le quotient est 88, le reste 793 − 792 = 1.
793 = 9 × 88 + 1, avec 1 < 9.
16 × 120 = 1 920 ≤ 1 928 < 1 936 = 16 × 121 : le quotient est 120, le reste 1 928 − 1 920 = 8.
1 928 = 16 × 120 + 8, avec 8 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 118 = 12 × 9 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 118 = 12 × 10 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 118 = 12 × 8 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 9, reste 10.
3. 205 = 6 × 34 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 34 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 818 | oui | non | non | non | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 5 480 | oui | non | oui | non | oui |
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 6 561 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 818 → 6 + 8 + 1 + 8 = 23 681 → 6 + 8 + 1 = 15 5 480 → 5 + 4 + 8 + 0 = 17
355 → 3 + 5 + 5 = 13 6 561 → 6 + 5 + 6 + 1 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 0 + □ = 1 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 6
Une seule solution : 105.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 91. » Faux. 91 = 5 × 18 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 4 × 9 = 29 + 36 = 65
B = 7 × 2 − 4 × 3 = 14 − 12 = 2
C = (3 + 10) × 5 − 17 = 13 × 5 − 17 = 65 − 17 = 48
D = 4 × [33 − (8 + 2)] = 4 × [33 − 10] = 4 × 23 = 92
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 6) × 3 + 7 = 14 × 3 + 7 = 42 + 7 = 49
(9 + 4 × 8) × 4 = (9 + 32) × 4 = 41 × 4 = 164
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 23 × 25 = 4 × 25 × 23 = 100 × 23 = 2 300
F = 27 × 11 = 27 × (10 + 1) = 27 × 10 + 27 × 1 = 270 + 27 = 297
G = 15 × 66 + 15 × 34 = 15 × (66 + 34) = 15 × 100 = 1 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 × 5 = 5³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (3 + 5)² = 3² + 5² » Faux. (3 + 5)² = 8² = 64, alors que 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
« 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²) 54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 7 = 2 × 25 − 7 = 50 − 7 = 43
B = (2 × 5)² − 7 = 10² − 7 = 100 − 7 = 93
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7x = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 5 : x² + 6 = 5² + 6 = 25 + 6 = 31 et 7x = 7 × 5 = 35.
31 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 160 :
12² = 144 ≤ 160 et 13² = 169 > 160.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
160 − 144 = 16
b) Il lui restera 16 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 58 et 95. » → encore 36 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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