Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (15 + 5) × 9 = 20 × 9 = 180
B = 15 + 5 × 9 = 15 + 45 = 60
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
D = (17 + 23) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 17 et 23 par 5.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 65 = 390 ≤ 394 < 396 = 6 × 66 : le quotient est 65, le reste 394 − 390 = 4.
394 = 6 × 65 + 4, avec 4 < 6.
14 × 70 = 980 ≤ 990 < 994 = 14 × 71 : le quotient est 70, le reste 990 − 980 = 10.
990 = 14 × 70 + 10, avec 10 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 406 = 12 × 33 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 406 = 12 × 32 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 406 = 12 × 34 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 33, reste 10.
Comme 10 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 406 par 33 : quotient 12, reste 10.
3. 28 = 8 × 3 + 4
3 minibus pleins transportent 24 élèves ; il en reste 4 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 4 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 916 | oui | non | non | non | non |
| 231 | non | oui | non | non | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 1 770 | oui | oui | oui | non | oui |
| 7 119 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 916 → 6 + 9 + 1 + 6 = 22 231 → 2 + 3 + 1 = 6 575 → 5 + 7 + 5 = 17
1 770 → 1 + 7 + 7 + 0 = 15 7 119 → 7 + 1 + 1 + 9 = 18
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 4 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 18
Une seule solution : 774.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 190 est un multiple de 7. » Faux. 190 = 7 × 27 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 9 × 3 = 3 + 27 = 30
B = 5 × 6 − 4 × 5 = 30 − 20 = 10
C = (11 + 2) × 4 − 10 = 13 × 4 − 10 = 52 − 10 = 42
D = 4 × [31 − (3 + 7)] = 4 × [31 − 10] = 4 × 21 = 84
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 3 − (5 + 2) = 9 × 3 − 7 = 27 − 7 = 20
8 × (4 − 3) × 5 = 8 × 1 × 5 = 8 × 5 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 11 = 38 × (10 + 1) = 38 × 10 + 38 × 1 = 380 + 38 = 418
F = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
G = 2 × 27 × 5 = 2 × 5 × 27 = 10 × 27 = 270
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³ 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (2 + 5)² = 2² + 5² » Faux. (2 + 5)² = 7² = 49, alors que 2² + 5² = 4 + 25 = 29.
« 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²)
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
146 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 146 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 5 = 2 × 16 − 5 = 32 − 5 = 27
B = (2 × 4)² − 5 = 8² − 5 = 64 − 5 = 59
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 4 = 2² + 4 = 4 + 4 = 8 et 5n = 5 × 2 = 10.
8 ≠ 10 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Pour n = 1 : n² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5n = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 50 et 92. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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