Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
B = (2 + 6)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 1.
D = 5 × 9² − 5 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 9 et 5.
E = 1² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 58 = 522 ≤ 525 < 531 = 9 × 59 : le quotient est 58, le reste 525 − 522 = 3.
525 = 9 × 58 + 3, avec 3 < 9.
22 × 37 = 814 ≤ 833 < 836 = 22 × 38 : le quotient est 37, le reste 833 − 814 = 19.
833 = 22 × 37 + 19, avec 19 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 313 = 11 × 27 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 313 = 11 × 29 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 313 = 11 × 28 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 28, reste 5.
Comme 5 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 313 par 28 : quotient 11, reste 5.
3. 54 = 4 × 13 + 2, avec 2 < 4
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 4 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 136 | oui | non | non | non | non |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 7 191 | non | oui | non | oui | non |
| 1 660 | oui | non | oui | non | oui |
| 275 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 136 → 9 + 1 + 3 + 6 = 19 591 → 5 + 9 + 1 = 15 7 191 → 7 + 1 + 9 + 1 = 18
1 660 → 1 + 6 + 6 + 0 = 13 275 → 2 + 7 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 3 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 723, 753, 783.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 82 est pair mais 82 = 3 × 27 + 1.
« 169 est un multiple de 8. » Faux. 169 = 8 × 21 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 5 × 4 = 5 + 20 = 25
B = 54 ÷ 9 × 5 = 6 × 5 = 30
C = (8 + 3) × 3 − 15 = 11 × 3 − 15 = 33 − 15 = 18
D = [5 + 7 × (7 − 1)] ÷ 5 = [5 + 7 × 6] ÷ 5 = [5 + 42] ÷ 5 = 47 ÷ 5 = 9,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (4 × 2 − 2) = 4 × (8 − 2) = 4 × 6 = 24
8 × 4 × (3 − 3) = 8 × 4 × 0 = 32 × 0 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
F = 43 × 9 = 43 × (10 − 1) = 43 × 10 − 43 × 1 = 430 − 43 = 387
G = 72 + 7,8 + 28 = 72 + 28 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³ 5 × 5 = 5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (3 + 5)² = 3² + 5² » Faux. (3 + 5)² = 8² = 64, alors que 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
66 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 66 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 5 = 5 × 9 − 5 = 45 − 5 = 40
B = (5 × 3)² − 5 = 15² − 5 = 225 − 5 = 220
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 6 = 4² + 6 = 16 + 6 = 22 et 5x = 5 × 4 = 20.
22 ≠ 20 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Pour x = 3 : x² + 6 = 3² + 6 = 9 + 6 = 15 et 5x = 5 × 3 = 15.
15 = 15 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 3 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 219. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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