Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (22 − 6) × 2 = 16 × 2 = 32
B = 22 − 6 × 2 = 22 − 12 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (11 + 7) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 7 par 2.
D = 4 + 7 × 7 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 7 par 7.
E = 5 × 4² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 4 et 15.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 164 = 984 ≤ 989 < 990 = 6 × 165 : le quotient est 164, le reste 989 − 984 = 5.
989 = 6 × 164 + 5, avec 5 < 6.
12 × 34 = 408 ≤ 419 < 420 = 12 × 35 : le quotient est 34, le reste 419 − 408 = 11.
419 = 12 × 34 + 11, avec 11 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 373 = 12 × 31 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 373 = 12 × 32 − 11 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 373 = 12 × 30 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 31, reste 1.
Comme 1 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 373 par 31 : quotient 12, reste 1.
3. 71 = 15 × 4 + 11
4 minibus pleins transportent 60 élèves ; il en reste 11 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 11 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 170 | oui | oui | oui | non | oui |
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 5 554 | oui | non | non | non | non |
| 3 861 | non | oui | non | oui | non |
| 805 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
4 170 → 4 + 1 + 7 + 0 = 12 687 → 6 + 8 + 7 = 21 5 554 → 5 + 5 + 5 + 4 = 19
3 861 → 3 + 8 + 6 + 1 = 18 805 → 8 + 0 + 5 = 13
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 8 = 17 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 18 ; □ = 4 : 21 ; □ = 7 : 24
3 solutions : 918, 948, 978.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 57 est divisible par 3 (57 = 3 × 19) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 41 est un multiple de 3. » Faux. 41 = 3 × 13 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 12 + 4 × 9 = 12 + 36 = 48
B = 6 + 14 ÷ 7 × 2 = 6 + 2 × 2 = 6 + 4 = 10
C = (4 + 3) × 2 − 4 = 7 × 2 − 4 = 14 − 4 = 10
D = 3 × [28 − (6 + 6)] = 3 × [28 − 12] = 3 × 16 = 48
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 2 × (8 − 3) = 5 + 2 × 5 = 5 + 10 = 15
(4 × 5 − 6) × 2 = (20 − 6) × 2 = 14 × 2 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 99 = 27 × (100 − 1) = 27 × 100 − 27 × 1 = 2 700 − 27 = 2 673
F = 2 × 32 × 50 = 2 × 50 × 32 = 100 × 32 = 3 200
G = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 4 × 4 = 4² 1,1 × 1,1 = 1,1²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
53 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 53 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
D = (2 + 1)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 12 = 3² + 12 = 9 + 12 = 21 et 7x = 7 × 3 = 21.
21 = 21 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Pour x = 6 : x² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 7x = 7 × 6 = 42.
48 ≠ 42 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 3 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 111 et 159. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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