Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (16 − 2) × 4 = 14 × 4 = 56
B = 16 − 2 × 4 = 16 − 8 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 22 − 7 × 2 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 7 par 2.
D = 6² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 9.
E = 9 × (16 − 12) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 16 et 12.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 106 = 954 ≤ 955 < 963 = 9 × 107 : le quotient est 106, le reste 955 − 954 = 1.
955 = 9 × 106 + 1, avec 1 < 9.
25 × 50 = 1 250 ≤ 1 271 < 1 275 = 25 × 51 : le quotient est 50, le reste 1 271 − 1 250 = 21.
1 271 = 25 × 50 + 21, avec 21 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 108 = 10 × 11 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 108 = 10 × 10 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 108 = 10 × 9 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 8.
Comme 8 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 108 par 10 : quotient 10, reste 8.
3. 34 = 8 × 4 + 2
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 2 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 2 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 5 242 | oui | non | non | non | non |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 3 150 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 1 143 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
507 → 5 + 0 + 7 = 12 5 242 → 5 + 2 + 4 + 2 = 13 655 → 6 + 5 + 5 = 16
3 150 → 3 + 1 + 5 + 0 = 9 1 143 → 1 + 1 + 4 + 3 = 9
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 3 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 813, 843, 873.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 87 est divisible par 3 (87 = 3 × 29) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 47. » Faux. 47 = 4 × 11 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 50 − 4 × 5 = 50 − 20 = 30
B = 10 ÷ 2 × 5 = 5 × 5 = 25
C = (7 + 9) × 4 − 13 = 16 × 4 − 13 = 64 − 13 = 51
D = 5,7 + 5 × 1,5 = 5,7 + 7,5 = 13,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 4) × 5 × 5 = 7 × 5 × 5 = 35 × 5 = 175
2 × (2 + 6) + 4 = 2 × 8 + 4 = 16 + 4 = 20
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 15 × 9 = 15 × (10 − 1) = 15 × 10 − 15 × 1 = 150 − 15 = 135
G = 60 + 5,05 + 40 = 60 + 40 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 11 × 11 = 11² 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
25 = 5² : carré 45 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 45 < 49 = 7²)
74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²) 117 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 117 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 2 = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
B = (3 × 3)² − 2 = 9² − 2 = 81 − 2 = 79
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 24 = 6² + 24 = 36 + 24 = 60 et 10x = 10 × 6 = 60.
60 = 60 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 3 : x² + 24 = 3² + 24 = 9 + 24 = 33 et 10x = 10 × 3 = 30.
33 ≠ 30 : l'égalité est fausse pour x = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 6 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 35. » → encore 33 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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