Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
B = (5 + 2)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 + 7 × 8 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 7 par 8.
D = 8 × (11 − 9) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 11 et 9.
E = 9² − 33 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 33.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 74 = 518 ≤ 521 < 525 = 7 × 75 : le quotient est 74, le reste 521 − 518 = 3.
521 = 7 × 74 + 3, avec 3 < 7.
18 × 107 = 1 926 ≤ 1 932 < 1 944 = 18 × 108 : le quotient est 107, le reste 1 932 − 1 926 = 6.
1 932 = 18 × 107 + 6, avec 6 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 401 = 11 × 37 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 401 = 11 × 36 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 401 = 11 × 35 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 36, reste 5.
Comme 5 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 401 par 36 : quotient 11, reste 5.
3. 113 = 6 × 18 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 18 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 101 | non | oui | non | oui | non |
| 995 | non | non | oui | non | non |
| 5 428 | oui | non | non | non | non |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 2 360 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
7 101 → 7 + 1 + 0 + 1 = 9 995 → 9 + 9 + 5 = 23 5 428 → 5 + 4 + 2 + 8 = 19
591 → 5 + 9 + 1 = 15 2 360 → 2 + 3 + 6 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 7 = 16 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 18
Une seule solution : 927.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 8 est un diviseur de 232. » Vrai. 232 = 8 × 29 : le reste de la division de 232 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 50 − 6 × 5 = 50 − 30 = 20
B = 72 ÷ 9 × 5 = 8 × 5 = 40
C = 98 − 3 × (15 − 9) = 98 − 3 × 6 = 98 − 18 = 80
D = 4 × [26 − (4 + 3)] = 4 × [26 − 7] = 4 × 19 = 76
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 4) × 9 − 7 = 13 × 9 − 7 = 117 − 7 = 110
(9 + 6 × 7) × 2 = (9 + 42) × 2 = 51 × 2 = 102
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 99 = 26 × (100 − 1) = 26 × 100 − 26 × 1 = 2 600 − 26 = 2 574
F = 2 × 89 × 50 = 2 × 50 × 89 = 100 × 89 = 8 900
G = 31 × 57 − 31 × 47 = 31 × (57 − 47) = 31 × 10 = 310
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 2 × 2 × 2 = 2³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
121 = 11² : carré 140 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 140 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 2 = 5 × 16 − 2 = 80 − 2 = 78
B = (5 × 4)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 9 = 5 × 2² − 9 = 5 × 4 − 9 = 20 − 9 = 11
B = (5x)² − 9 = (5 × 2)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 56 :
7² = 49 ≤ 56 et 8² = 64 > 56.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
56 − 49 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 138 et 199. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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