Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (15 + 24) ÷ 3 = 39 ÷ 3 = 13
B = 15 + 24 ÷ 3 = 15 + 8 = 23
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 7) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 7 par 6.
D = (7 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 1.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 67 = 536 ≤ 537 < 544 = 8 × 68 : le quotient est 67, le reste 537 − 536 = 1.
537 = 8 × 67 + 1, avec 1 < 8.
11 × 127 = 1 397 ≤ 1 399 < 1 408 = 11 × 128 : le quotient est 127, le reste 1 399 − 1 397 = 2.
1 399 = 11 × 127 + 2, avec 2 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 228 = 10 × 22 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 228 = 10 × 23 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 228 = 10 × 21 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 22, reste 8.
Comme 8 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 228 par 22 : quotient 10, reste 8.
3. 52 = 8 × 6 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 188 | oui | non | non | non | non |
| 7 371 | non | oui | non | oui | non |
| 245 | non | non | oui | non | non |
| 741 | non | oui | non | non | non |
| 4 980 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
9 188 → 9 + 1 + 8 + 8 = 26 7 371 → 7 + 3 + 7 + 1 = 18 245 → 2 + 4 + 5 = 11
741 → 7 + 4 + 1 = 12 4 980 → 4 + 9 + 8 + 0 = 21
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 1 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 315.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 603, somme des chiffres 9.
« 4 est un diviseur de 48. » Vrai. 48 = 4 × 12 : le reste de la division de 48 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 8 × 5 = 10 + 40 = 50
B = 9 × 6 − 5 × 4 = 54 − 20 = 34
C = (11 + 9) × 5 − 15 = 20 × 5 − 15 = 100 − 15 = 85
D = 2 × [40 − (5 + 4)] = 2 × [40 − 9] = 2 × 31 = 62
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 7 × 5) × 3 = (2 + 35) × 3 = 37 × 3 = 111
(3 + 9) × 4 − 7 = 12 × 4 − 7 = 48 − 7 = 41
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 16 × 73 − 16 × 63 = 16 × (73 − 63) = 16 × 10 = 160
F = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
G = 74 + 12,6 + 26 = 74 + 26 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³ 3 × 3 = 3²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²) 100 = 10² : carré
137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 7 = 4 × 16 − 7 = 64 − 7 = 57
B = (4 × 4)² − 7 = 16² − 7 = 256 − 7 = 249
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 12 = 5² + 12 = 25 + 12 = 37 et 7n = 7 × 5 = 35.
37 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Pour n = 3 : n² + 12 = 3² + 12 = 9 + 12 = 21 et 7n = 7 × 3 = 21.
21 = 21 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 3 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 58 et 92. » → encore 33 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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