Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
B = (3 + 6)² = 9² = 81
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 + 14 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 14 par 2.
D = 4 × (12 − 4) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 12 et 4.
E = 4 × 7² − 2 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 7 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 55 = 165 ≤ 166 < 168 = 3 × 56 : le quotient est 55, le reste 166 − 165 = 1.
166 = 3 × 55 + 1, avec 1 < 3.
21 × 109 = 2 289 ≤ 2 296 < 2 310 = 21 × 110 : le quotient est 109, le reste 2 296 − 2 289 = 7.
2 296 = 21 × 109 + 7, avec 7 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 382 = 14 × 28 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 382 = 14 × 26 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 382 = 14 × 27 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 27, reste 4.
Comme 4 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 382 par 27 : quotient 14, reste 4.
3. 141 = 12 × 11 + 9
En 11 soirs, elle lit 132 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 410 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 686 | oui | non | non | non | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 5 301 | non | oui | non | oui | non |
| 835 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 410 → 3 + 4 + 1 + 0 = 8 2 686 → 2 + 6 + 8 + 6 = 22 597 → 5 + 9 + 7 = 21
5 301 → 5 + 3 + 0 + 1 = 9 835 → 8 + 3 + 5 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 4 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 345.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 33 est divisible par 3 (33 = 3 × 11) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 3 est un diviseur de 86. » Faux. 86 = 3 × 28 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 4 × 3 = 5 + 12 = 17
B = 6 + 27 ÷ 3 × 2 = 6 + 9 × 2 = 6 + 18 = 24
C = 99 − 5 × (10 − 8) = 99 − 5 × 2 = 99 − 10 = 89
D = [6 + 8 × (8 − 4)] ÷ 5 = [6 + 8 × 4] ÷ 5 = [6 + 32] ÷ 5 = 38 ÷ 5 = 7,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (2 + 6) × 3 = 5 × 8 × 3 = 40 × 3 = 120
(5 + 4) × 7 + 2 = 9 × 7 + 2 = 63 + 2 = 65
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 37 × 125 = 8 × 125 × 37 = 1 000 × 37 = 37 000
F = 16 × 11 = 16 × (10 + 1) = 16 × 10 + 16 × 1 = 160 + 16 = 176
G = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 2,5 × 2,5 = 2,5² 5 × 5 × 5 = 5³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 10 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 10 < 16 = 4²)
25 = 5² : carré 36 = 6² : carré
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 4 = 4 × 9 − 4 = 36 − 4 = 32
B = (4 × 3)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : 7a² = 7 × 4² = 7 × 16 = 112
Pour a = 10 : 7a² = 7 × 10² = 7 × 100 = 700
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 277 et 327. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 289, 324.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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