Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (12 − 3) × 3 = 9 × 3 = 27
B = 12 − 3 × 3 = 12 − 9 = 3
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
E = 8² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 31 = 186 ≤ 187 < 192 = 6 × 32 : le quotient est 31, le reste 187 − 186 = 1.
187 = 6 × 31 + 1, avec 1 < 6.
19 × 49 = 931 ≤ 945 < 950 = 19 × 50 : le quotient est 49, le reste 945 − 931 = 14.
945 = 19 × 49 + 14, avec 14 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 299 = 11 × 27 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 299 = 11 × 26 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 299 = 11 × 28 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 2.
Comme 2 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 299 par 27 : quotient 11, reste 2.
3. 48 = 9 × 5 + 3
5 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 3 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 078 | oui | non | non | non | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 995 | non | non | oui | non | non |
| 6 939 | non | oui | non | oui | non |
| 8 120 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 078 → 5 + 0 + 7 + 8 = 20 951 → 9 + 5 + 1 = 15 995 → 9 + 9 + 5 = 23
6 939 → 6 + 9 + 3 + 9 = 27 8 120 → 8 + 1 + 2 + 0 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 7 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15 ; □ = 6 : 21
2 solutions : 870, 876.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 828, somme des chiffres 18.
« 143 est un multiple de 6. » Faux. 143 = 6 × 23 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 34 − 6 + 6 = 28 + 6 = 34
B = 6 × 4 − 4 × 2 = 24 − 8 = 16
C = (8 × 9 − 1) ÷ 4 = (72 − 1) ÷ 4 = 71 ÷ 4 = 17,75
D = [2 + 8 × (9 − 4)] ÷ 5 = [2 + 8 × 5] ÷ 5 = [2 + 40] ÷ 5 = 42 ÷ 5 = 8,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + (3 + 3) × 2 = 2 + 6 × 2 = 2 + 12 = 14
6 × 5 − (7 − 5) = 6 × 5 − 2 = 30 − 2 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 15 × 50 = 2 × 50 × 15 = 100 × 15 = 1 500
F = 29 × 9 = 29 × (10 − 1) = 29 × 10 − 29 × 1 = 290 − 29 = 261
G = 36 × 51 + 36 × 49 = 36 × (51 + 49) = 36 × 100 = 3 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
142 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 142 < 144 = 12²) 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 3 : a² + 9a = 3² + 9 × 3 = 9 + 9 × 3 = 9 + 27 = 36
Pour a = 10 : a² + 9a = 10² + 9 × 10 = 100 + 9 × 10 = 100 + 90 = 190
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 104 :
10² = 100 ≤ 104 et 11² = 121 > 104.
a) Elle mettra 10 dalles sur chaque côté.
104 − 100 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 95 et 137. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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