Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 8) × 7 = 12 × 7 = 84
B = 4 + 8 × 7 = 4 + 56 = 60
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 4) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 4 par 7.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = 7 + 2 × 2 est une somme : c'est la somme de 7 et du produit de 2 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 115 = 920 ≤ 922 < 928 = 8 × 116 : le quotient est 115, le reste 922 − 920 = 2.
922 = 8 × 115 + 2, avec 2 < 8.
23 × 24 = 552 ≤ 554 < 575 = 23 × 25 : le quotient est 24, le reste 554 − 552 = 2.
554 = 23 × 24 + 2, avec 2 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 142 = 13 × 9 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 142 = 13 × 11 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 142 = 13 × 10 + 12 : le reste 12 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 12.
3. 248 = 12 × 20 + 8, avec 8 < 12
a) Elle remplit 20 boîtes pleines.
b) Il reste 8 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 447 | non | oui | non | non | non |
| 1 466 | oui | non | non | non | non |
| 8 919 | non | oui | non | oui | non |
| 3 020 | oui | non | oui | non | oui |
| 605 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
447 → 4 + 4 + 7 = 15 1 466 → 1 + 4 + 6 + 6 = 17 8 919 → 8 + 9 + 1 + 9 = 27
3 020 → 3 + 0 + 2 + 0 = 5 605 → 6 + 0 + 5 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 5 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 750.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 270, somme des chiffres 9.
« 89 est un multiple de 3. » Faux. 89 = 3 × 29 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 82 − 4 × 6 = 82 − 24 = 58
B = 4 × 7 − 2 × 3 = 28 − 6 = 22
C = (3 × 8 − 9) ÷ 5 = (24 − 9) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3
D = [3 + 9 × (9 − 4)] ÷ 5 = [3 + 9 × 5] ÷ 5 = [3 + 45] ÷ 5 = 48 ÷ 5 = 9,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × 2 × (5 + 2) = 5 × 2 × 7 = 10 × 7 = 70
4 × (7 × 3 − 7) = 4 × (21 − 7) = 4 × 14 = 56
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 30 × 5 = 2 × 5 × 30 = 10 × 30 = 300
F = 36 × 11 = 36 × (10 + 1) = 36 × 10 + 36 × 1 = 360 + 36 = 396
G = 31 × 89 + 31 × 11 = 31 × (89 + 11) = 31 × 100 = 3 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 12 × 12 = 12² 1,1 × 1,1 = 1,1²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
12 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 12 < 16 = 4²) 19 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 19 < 25 = 5²)
36 = 6² : carré 91 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 91 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 1 = 2 × 4 − 1 = 8 − 1 = 7
B = (2 × 2)² − 1 = 4² − 1 = 16 − 1 = 15
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : a³ + 7 = 6³ + 7 = 216 + 7 = 223
Pour a = 10 : a³ + 7 = 10³ + 7 = 1 000 + 7 = 1 007
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 251 et 299. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.