Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 + 21 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 9 et du quotient de 21 par 7.
D = 6 × (17 − 9) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 17 et 9.
E = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 191 = 573 ≤ 574 < 576 = 3 × 192 : le quotient est 191, le reste 574 − 573 = 1.
574 = 3 × 191 + 1, avec 1 < 3.
29 × 60 = 1 740 ≤ 1 768 < 1 769 = 29 × 61 : le quotient est 60, le reste 1 768 − 1 740 = 28.
1 768 = 29 × 60 + 28, avec 28 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 225 = 12 × 18 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 225 = 12 × 19 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 225 = 12 × 17 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 18, reste 9.
Comme 9 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 225 par 18 : quotient 12, reste 9.
3. 28 = 9 × 3 + 1
3 minibus pleins transportent 27 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 1 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 200 | oui | non | oui | non | oui |
| 425 | non | non | oui | non | non |
| 5 378 | oui | non | non | non | non |
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 4 761 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
8 200 → 8 + 2 + 0 + 0 = 10 425 → 4 + 2 + 5 = 11 5 378 → 5 + 3 + 7 + 8 = 23
507 → 5 + 0 + 7 = 12 4 761 → 4 + 7 + 6 + 1 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 5 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 750.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 80 est pair mais 80 = 3 × 26 + 2.
« 7 est un diviseur de 154. » Vrai. 154 = 7 × 22 : le reste de la division de 154 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 64 − 3 × 2 = 64 − 6 = 58
B = 5 × 6 − 6 × 4 = 30 − 24 = 6
C = (8 × 7 − 5) ÷ 4 = (56 − 5) ÷ 4 = 51 ÷ 4 = 12,75
D = 4 × [30 − (3 + 5)] = 4 × [30 − 8] = 4 × 22 = 88
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × 5 − (8 + 6) = 3 × 5 − 14 = 15 − 14 = 1
(5 × 4 − 5) × 3 = (20 − 5) × 3 = 15 × 3 = 45
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 39 − 22 × 29 = 22 × (39 − 29) = 22 × 10 = 220
F = 17 × 11 = 17 × (10 + 1) = 17 × 10 + 17 × 1 = 170 + 17 = 187
G = 20 + 0,75 + 80 = 20 + 80 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³ 5 × 5 = 5²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²)
36 = 6² : carré 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 7² + 3² = 49 + 9 = 58
D = (7 + 3)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 5 : x² + 5 = 5² + 5 = 25 + 5 = 30 et 6x = 6 × 5 = 30.
30 = 30 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Pour x = 3 : x² + 5 = 3² + 5 = 9 + 5 = 14 et 6x = 6 × 3 = 18.
14 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour x = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 5 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 63. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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