Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 2)² = 7² = 49
B = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 27 − 5 × 4 est une différence : c'est la différence entre 27 et le produit de 5 par 4.
E = 10 + 4 × 7 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 4 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 40 = 200 ≤ 202 < 205 = 5 × 41 : le quotient est 40, le reste 202 − 200 = 2.
202 = 5 × 40 + 2, avec 2 < 5.
27 × 79 = 2 133 ≤ 2 149 < 2 160 = 27 × 80 : le quotient est 79, le reste 2 149 − 2 133 = 16.
2 149 = 27 × 79 + 16, avec 16 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 341 = 10 × 35 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 341 = 10 × 34 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 341 = 10 × 33 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 34, reste 1.
Comme 1 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 341 par 34 : quotient 10, reste 1.
3. 38 = 8 × 4 + 6
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 6 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 205 | non | non | oui | non | non |
| 2 854 | oui | non | non | non | non |
| 7 810 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 213 | non | oui | non | oui | non |
| 237 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
205 → 2 + 0 + 5 = 7 2 854 → 2 + 8 + 5 + 4 = 19 7 810 → 7 + 8 + 1 + 0 = 16
3 213 → 3 + 2 + 1 + 3 = 9 237 → 2 + 3 + 7 = 12
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 9 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 495.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 168 est un multiple de 6. » Vrai. 168 = 6 × 28 : le reste de la division de 168 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 2 + 3 × 5 = 2 + 15 = 17
B = 5 + 30 ÷ 5 × 4 = 5 + 6 × 4 = 5 + 24 = 29
C = (6 × 7 − 4) ÷ 4 = (42 − 4) ÷ 4 = 38 ÷ 4 = 9,5
D = 3,6 + 5 × 0,5 = 3,6 + 2,5 = 6,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 × 5 − 9) × 3 = (35 − 9) × 3 = 26 × 3 = 78
7 × (9 × 2 + 6) = 7 × (18 + 6) = 7 × 24 = 168
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
F = 33 × 101 = 33 × (100 + 1) = 33 × 100 + 33 × 1 = 3 300 + 33 = 3 333
G = 44 + 5,05 + 56 = 44 + 56 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 10 × 10 = 10²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
121 = 11² : carré 133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²)
135 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 135 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 5 = 5 × 36 − 5 = 180 − 5 = 175
B = (5 × 6)² − 5 = 30² − 5 = 900 − 5 = 895
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : 2n³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 55 et 109. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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