Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 2² − 13 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 2 et 13.
D = 11 + 48 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 48 par 8.
E = (2 + 8) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 8 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 104 = 832 ≤ 836 < 840 = 8 × 105 : le quotient est 104, le reste 836 − 832 = 4.
836 = 8 × 104 + 4, avec 4 < 8.
29 × 53 = 1 537 ≤ 1 539 < 1 566 = 29 × 54 : le quotient est 53, le reste 1 539 − 1 537 = 2.
1 539 = 29 × 53 + 2, avec 2 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 247 = 9 × 28 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 247 = 9 × 27 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 247 = 9 × 26 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 27, reste 4.
Comme 4 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 247 par 27 : quotient 9, reste 4.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 568 | oui | non | non | non | non |
| 3 200 | oui | non | oui | non | oui |
| 905 | non | non | oui | non | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 7 713 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
1 568 → 1 + 5 + 6 + 8 = 20 3 200 → 3 + 2 + 0 + 0 = 5 905 → 9 + 0 + 5 = 14
201 → 2 + 0 + 1 = 3 7 713 → 7 + 7 + 1 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 7 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 15 ; □ = 4 : 18 ; □ = 7 : 21
3 solutions : 717, 747, 777.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 513, somme des chiffres 9.
« 142 est un multiple de 5. » Faux. 142 = 5 × 28 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 8 × 7 = 10 + 56 = 66
B = 72 ÷ 8 × 2 = 9 × 2 = 18
C = (6 + 2) × 5 − 12 = 8 × 5 − 12 = 40 − 12 = 28
D = 2,7 + 5 × 2,5 = 2,7 + 12,5 = 15,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × 9 × (9 − 9) = 7 × 9 × 0 = 63 × 0 = 0
(6 − 3 + 6) × 8 = (3 + 6) × 8 = 9 × 8 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 83 − 22 × 73 = 22 × (83 − 73) = 22 × 10 = 220
F = 28 × 9 = 28 × (10 − 1) = 28 × 10 − 28 × 1 = 280 − 28 = 252
G = 28 + 3,45 + 72 = 28 + 72 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 12 × 12 = 12² 2,5 × 2,5 = 2,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
76 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 76 < 81 = 9²) 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
93 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 93 < 100 = 10²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 9 = 2 × 25 − 9 = 50 − 9 = 41
B = (2 × 5)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : 4a² = 4 × 6² = 4 × 36 = 144
Pour a = 0,5 : 4a² = 4 × 0,5² = 4 × 0,25 = 1
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 25 et 65. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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