Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 6 + 54 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 6 et du quotient de 54 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 92 = 828 ≤ 831 < 837 = 9 × 93 : le quotient est 92, le reste 831 − 828 = 3.
831 = 9 × 92 + 3, avec 3 < 9.
28 × 23 = 644 ≤ 646 < 672 = 28 × 24 : le quotient est 23, le reste 646 − 644 = 2.
646 = 28 × 23 + 2, avec 2 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 221 = 7 × 31 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 221 = 7 × 30 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 221 = 7 × 32 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 31, reste 4.
Comme 4 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 221 par 31 : quotient 7, reste 4.
3. 80 = 15 × 5 + 5
5 minibus pleins transportent 75 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 5 = 10 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 137 | non | oui | non | oui | non |
| 8 074 | oui | non | non | non | non |
| 4 400 | oui | non | oui | non | oui |
| 175 | non | non | oui | non | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 137 → 7 + 1 + 3 + 7 = 18 8 074 → 8 + 0 + 7 + 4 = 19 4 400 → 4 + 4 + 0 + 0 = 8
175 → 1 + 7 + 5 = 13 111 → 1 + 1 + 1 = 3
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 6 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 162, 168.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 4 est un diviseur de 60. » Vrai. 60 = 4 × 15 : le reste de la division de 60 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 54 − 6 × 9 = 54 − 54 = 0
B = 48 ÷ 6 × 4 = 8 × 4 = 32
C = (9 × 3 − 7) ÷ 2 = (27 − 7) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
D = 3 × [21 − (9 + 7)] = 3 × [21 − 16] = 3 × 5 = 15
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + 6 × (8 + 3) = 3 + 6 × 11 = 3 + 66 = 69
(9 − 8 + 9) × 5 = (1 + 9) × 5 = 10 × 5 = 50
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 11 = 22 × (10 + 1) = 22 × 10 + 22 × 1 = 220 + 22 = 242
F = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 5 × 45 × 20 = 5 × 20 × 45 = 100 × 45 = 4 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 8 × 8 = 8² 1,1 × 1,1 = 1,1²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
80 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 80 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
108 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 108 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 9 = 3 × 4 − 9 = 12 − 9 = 3
B = (3 × 2)² − 9 = 6² − 9 = 36 − 9 = 27
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5n = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 5 : n² + 4 = 5² + 4 = 25 + 4 = 29 et 5n = 5 × 5 = 25.
29 ≠ 25 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 30 et 65. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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